2.1.3. Сходимость рядов с произвольными членами
Рассмотрим вещественные знакопеременные ряды, имеющие бесконечно много как положительных, так и отрицательных членов.
Примеры знакопеременных рядов:
1)
;
2)
-
этот
ряд является знакопеременным, так как
,
и т. д.
Частным случаем знакопеременных рядов являются знакочередующиеся ряды:
,
где
Теорема
10 (Признак Лейбница). Пусть
в ряде
числа
такие, что
и
.
Тогда этот ряд сходится.
Рассмотрим произвольный числовой ряд
с вещественными или комплексными членами
и положительный ряд, составленный из
модулей
.
Определение. Ряд
называют
абсолютно сходящимся, если сходится
ряд
.
Определение. Ряд называют условно сходящимся, если он сходится, а ряд расходится.
Теорема 11. Если сходится ряд , то сходится и ряд .
Для исследования абсолютной сходимости можно использовать признаки сходимости рядов с положительными членами (например, Даламбера и Коши).
Пример.
Исследовать
сходимость знакопеременного ряда
(абсолютную и условную сходимость):
.
Решение.
Рассмотрим
ряд, составленный из абсолютных величин
данного ряда:
.
Этот ряд расходится, как обобщенный
гармонический ряд
при
.
Исходный ряд знакочередующийся, его
члены монотонно убывают по абсолютной
величине и
.
Следовательно, он сходится по признаку
Лейбница. Значит, сходимость этого ряда
условная.
Пример.
Исследовать сходимость знакопеременного
ряда:
.
Решение.
Рассмотрим положительный ряд:
.
Используя предельный признак сравнения,
сравним этот ряд с гармоническим рядом
:
.
Таким образом, ряд
расходится. Исходный ряд знакочередующийся,
его члены монотонно убывают по абсолютной
величине, и
.
Значит, он сходится по признаку Лейбница.
Значит, исходный ряд сходится условно.
2.2. Функциональные ряды
Рассмотрим последовательность функций
вещественного или комплексного
переменного
,
определенных на некотором множестве
:
.
Определение. Функциональным рядом называют выражение
2.2.1. Сходимость функционального ряда
Определение.
Функциональный ряд
называется сходящимся
в точке
,
если сходится
соответствующий ему числовой ряд
.
Определение.
Функциональный
ряд
называется сходящимся
в области
,
если он сходится в каждой точке этой
области.
Определение.
Функциональный
ряд
называется абсолютно
сходящимся в области
,
если в этой области сходится ряд,
составленный из модулей его членов,
т.е. сходится ряд
.
Определение. Функциональный ряд называется условно сходящимся в области , если он сходится в этой области, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.
Определение.
Областью
сходимости (абсолютной сходимости)
функционального ряда
называют множество
тех значений
,
при которых ряд
сходится (абсолютно сходится).
Пример.
Найти область
сходимости ряда
.
Решение.
Данный ряд является рядом геометрической
прогрессии со знаменателем
.
Следовательно, этот ряд сходится при
,
т.е. при всех
- это область сходимости; сумма ряда
равна:
.
Пример.
Найти область
сходимости ряда:
.
Решение. Рассмотрим ряд из модулей членов и применим к нему признак Даламбера:
=
.
(Здесь
использована эквивалентность бесконечно
малых:
при
).
Таким образом, ряд абсолютно сходится
при любом
.