Введение
Данное пособие предназначено для студентов, обучающихся заочно по специальности 180103 «Судовые энергетические установки». Пособие разработано в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта данной специальности, утвержденного в 2000 г. и содержит те разделы курса математики, которые изучаются, в соответствии с учебной программой, в четвертом семестре. В пособии кратко изложены основные теоретические положения теории функций комплексного переменного, теории рядов, теории вероятностей и математической статистики, приведено достаточное количество примеров решения задач. После самостоятельного изучения теоретического материала и приобретения навыков решения задач студенты должны выполнить две контрольные работы. Варианты заданий контрольных работ и примеры их выполнения также приведены в пособии.
Следует отметить, что данное пособие должно рассматриваться лишь как основа для изучения, указанных выше, разделов математики. При самостоятельной работе следует обращаться и к другим источникам, перечень рекомендуемой учебной литературы приведен в конце пособия.
1. Теория функций комплексного переменного
Комплексные числа и операции над ними
1.1.1. Определение комплексного числа
Определение.
Комплексным
числом z
называется упорядоченная пара
действительных чисел
:
.
Например:
,
.
Действительные
числа х
и у
называются, соответственно, действительной
и мнимой частями комплексного числа
z
и обозначаются:
.
Комплексные
числа, у которых мнимая часть равна
нулю, т.е. числа вида:
отождествляют с действительными числами.
Определение.
Два комплексных
числа
и
называются равными
тогда и только тогда, когда
и
,
то есть
Определение.
Суммой
комплексных
чисел
называется
комплексное число z,
определяемое равенством:
.
Определение. Произведением комплексных чисел называется комплексное число z, определяемое равенством:
.
Геометрически
комплексное число
можно изобразить точкой
на плоскости, т.е. точкой с декартовыми
координатами
,
или вектором
,
идущим из начала координат в точку
(радиус-вектором
точки М).
Плоскость, на которой комплексные числа
изображаются как точки, называется
комплексной
плоскостью.
Ось
называется
вещественной
осью, ось
называется мнимой
осью. Масштабная единица оси
,
т.е. комплексное число
есть вещественная единица; масштабная
единица оси
,
т.е. число
называется мнимой
единицей,
это число имеет специальное обозначение
.
По
правилу умножения комплексных чисел
получим:
.
Таким
образом,
и т.д.
Комплексные
числа вида:
изображаются точками на оси
и
являются вещественными числами (множество
вещественных или действительных чисел
есть подмножество множества комплексных
чисел). Комплексные числа вида
изображаются точками на оси
и
называются чисто мнимыми числами.
Определение. Вещественное неотрицательное число:
называют модулем комплексного числа .
Геометрически, модуль комплексного числа – это расстояние от точки, изображающей число до начала координат (или длина радиус-вектора точки).
Определение.
Угол
между положительным направлением оси
и вектором
называют аргументом
комплексного числа
.
Этот
угол определен неоднозначно, с точностью
до
;
его обозначают
и называют общим значением аргумента.
Главным
значением аргумента комплексного числа
называют значение угла
,
заключенное в промежутке длины
,
его обозначают
.
Будем считать, что
.
Общее
значение аргумента и главное значение
связаны соотношением:
,
к=0,1,-1,2,-2,….
Из определения модуля и аргумента следует, что, если , то
,
и для вычисления получаем формулы:
Справедливы следующие свойства модуля и аргумента комплексного числа:
(при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются);
(модуль частного двух комплексных чисел есть частное модулей, а аргумент – разность аргументов делимого и делителя).