Примеры вероятностных пространств

1. Конечное вероятностное пространство

Рассмотрим вероятностное пространство , пусть - конечное множество, состоящее из элементарных исходов: . В этом случае, алгебра событий совпадает с системой всех подмножеств . Припишем каждому элементарному исходу его вероятность так, чтобы .

Пусть событие , где (такие исходы называют благоприятствующими событию A).

Тогда вероятность события A равна: .

Функция , заданная этим соотношением, удовлетворяет всем аксиомам вероятности.

Такое вероятностное пространство называют конечным.

Пусть все элементарные исходы равновероятны: . Тогда из условия , получим: . Отсюда т.е. .

Для события имеем: .

Определение. Вероятность события A, определяемая формулой , где - число всех равновероятных элементарных исходов опыта, - число элементарных исходов, благоприятствующих событию A, называется классической вероятностью события.

Пример. В урне 12 шаров: 3 белых, 4 черных, 5 красных. Какова вероятность вынуть из урны черный шар?

Решение. Эксперимент состоит в случайном выборе из закрытой урны одного шара. Элементарным исходом опыта является номер шара и его цвет. Поскольку все исходы равновероятны, можно использовать классическое определение вероятности. Общее число элементарных исходов (количество шаров в урне). Событию А={извлекли черный шар} благоприятствуют исходов (количество черных шаров). Получаем, что .

При подсчете числа элементарных исходов, составляющих события в классической схеме, часто используются известные формулы комбинаторики. Каждая из комбинаторных формул определяет общее число исходов в некоторой урновой схеме, т.е. в эксперименте по выбору наудачу элементов из множества, содержащего элементов (выбор шаров из урны). При этом строго оговорено, каким способом производится выбор и что понимается под различными выборками. Существуют две принципиально отличные схемы выбора: в первой схеме выбор осуществляется без возвращения элементов (это означает, что выбираются сразу все элементов, либо последовательно по одному, причем каждый отобранный элемент исключается из исходного множества); во второй схеме выбор осуществляется поэлементно, с обязательным возвращением отобранного элемента в исходное множество перед выбором следующего элемента. После того, как выбор сделан, отобранные элементы (или их номера) могут быть упорядочены.

А) Схема выбора, приводящая к сочетаниям.

Если опыт состоит в выборе элементов из множества, содержащего элементов без возвращения и без упорядочивания, то элементарным исходом является подмножество, называемое сочетанием из п элементов по т. Различные сочетания отличаются только составом выбранных элементов. Общее количество таких исходов обозначается и равно .

Пример. В урне 10 шаров: 6 белых, 4 черных. Вынули 2 шара. Какова вероятность, что оба шара белые?

Решение. Эксперимент состоит в выборе двух шаров из десяти, причем выбор осуществляется без возвращения. В каком порядке извлечены шары по условию задачи не важно. Элементарными исходами являются сочетания из 10 элементов по 2. Число всех исходов .

Событию А={оба шара белые} благоприятствуют исходы, когда два шара выбираются из шести белых шаров. Число таких исходов определяется равенством . Используя формулу классической вероятности, получаем, что .

Б) Схема выбора, приводящая к размещениям.

Если опыт состоит в выборе элементов из множества, содержащего элементов без возвращения, но с упорядочиванием их в последовательную цепочку, то элементарным исходом является подмножество, называемое размещением из п элементов по т. Различные размещения отличаются не только составом элементов, но и порядком их расположения. Общее количество таких исходов обозначается и равно .

В частном случае , опыт фактически состоит в упорядочивании элементов исходного множества, т.е. сводится к случайной перестановке его элементов. Тогда элементарными исходами являются перестановки из п элементов. Общее количество таких исходов равно .

Пример. На карточках написаны первые 10 букв русского алфавита. Опыт состоит в выборе без возвращения 4 букв и записи слова в порядке поступления букв. Какова вероятность того, что случайно составленное слово будет заканчиваться буквой а?

Решение. Поскольку опыт состоит в выборе без возвращения 4 букв из 10 имеющихся, то элементарными исходами будут 4-элементные подмножества. Порядок расположения букв в таком подмножестве важен (если переставить буквы, получится другое слово). Поэтому получаем размещения из 10 элементов по 4, их общее количество .

Пусть событие А={слово заканчивается буквой «а»}. Построим элементарные исходы, благоприятствующие этому событию. Четвертая выбранная буква обязательно должна быть «а», три первые буквы выбираются из оставшихся 9 букв без возвращения и с упорядочиванием. Количество таких элементарных исходов .

Тогда по формуле классической вероятности .

В) Схема выбора, приводящая к сочетаниям с повторениями.

Если опыт состоит в выборе элементов из множества, содержащего элементов с возвращением, но без последующего упорядочивания, то элементарным исходом является подмножество, среди элементов которого могут быть одинаковые, называемое сочетанием с повторениями. Их общее число определяется формулой : .

Пример. В технической библиотеке имеются книги по математике, физике, химии и т.д., всего по 16 разделам науки. Поступили очередные 4 заказа на литературу. Считая, что любой состав заказанной литературы равновозможен, найти вероятности следующих событий: А={заказаны книги из различных разделов науки}; В={заказаны книги из одного раздела}.

Решение. Эксперимент состоит в выборе 4 книг из библиотеки. Так как каждая книга содержится в одном из 16 разделов, то фактически выбор книги означает выбор раздела, причем выбранные разделы могут повторяться. Порядок выбора книг роли не играет. Таким образом, элементарными исходами являются 4-х элементные подмножества, в которых элементы могут повторяться в произвольном порядке – сочетания с повторениями. Общее количество таких исходов: .

Число исходов, благоприятствующих событию А, равно числу способов отобрать без возвращения 4 элемента из 16: .

Число исходов, благоприятствующих событию В, равно числу способов выбрать один элемент из 16: .

Таким образом, получаем .

Г) Схема выбора, приводящая к размещениям с повторениями.

Если опыт состоит в выборе элементов из множества, содержащего элементов с возвращением и с упорядочиванием, то элементарным исходом является подмножество, называемое размещением с повторениями. Среди его элементов могут быть повторяющиеся. Общее число таких исходов определяется формулой: .

Пример. Телефонная книга раскрывается наудачу и выбирается случайный номер телефона. Считая, что все номера состоят из 7 цифр, причем все комбинации равновероятны, найти вероятность того, что в номере все цифры различны.

Решение. Опыт состоит в случайном выборе номера. Так как каждый номер содержит цифры от 0 до 9, причем всего цифр семь, то фактически эксперимент представляет собой выбор семи цифр из десяти имеющихся и расположение этих цифр в определенном порядке, причем цифры в номере могут повторяться. Элементарными исходами являются размещения с повторениями. Общее число таких исходов: . Рассмотрим событие А={все цифры номера различны}. Чтобы построить элементарный исход, благоприятствующий событию А, надо выбрать 7 цифр из 10 без возвращения и расположить их в определенном порядке. Число таких исходов: . Имеем: .