Ряды Тейлора и Маклорена
Предположим, что функция в промежутке имеет непрерывные производные всех порядков. Для такой функции справедливы формулы:
и
,
называемые формулами Тейлора и Маклорена.
Слагаемое
называют остаточным членом формулы.
Составим ряд
,
в
частности, при
,
- ряд
.
Определение. Такие ряды (независимо от того, сходятся они или нет) называются соответственно рядами Тейлора и рядами Маклорена для функции f(x).
Рассмотрим
ряд Маклорена для функции f(x).
Этот ряд является степенным, поэтому
его область сходимости – интервал
.
Теорема
7 (Сходимость ряда Маклорена). Для
того, чтобы ряд Маклорена сходился и
имел своей суммой функцию f(x),
необходимо и достаточно, чтобы на
остаточный член формулы Маклорена
стремился к нулю при
:
.
Если выполняются условия теоремы, то говорят, что функция разлагается в степенной ряд на интервале .
Приведем разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций и область сходимости рядов:
;
;
;
,
;
;
.
2.3. Ряды Фурье
2.3.1. Тригонометрический ряд Фурье. Периодические функции.
Периодические процессы
Определение.
Функция
,
определенная на множестве
,
называется периодической
если существует такое число
,
что при каждом
,
значение
и выполняется равенство
.
Наименьшее из таких чисел называют
основным
периодом
функции.
Простейшими
периодическими функциями являются
тригонометрические функции
и
.
Период этих функций равен
,
т. е.
.
Простейшим периодическим процессом (движением) является простое гармоническое колебание (движение), описываемое функцией
,
,
где
А
– амплитуда колебания,
-
частота,
-
начальная фаза.
Функцию
такого вида называют простой
гармоникой.
Основным периодом функции является
,
т. е. одно полное колебание совершается
за промежуток времени
(
показывает, сколько колебаний совершает
точка в течение
единиц времени).
Сложное
гармоническое колебание
(периодический процесс),
возникающее в результате наложения
конечного (или бесконечного) числа
простых гармоник, также описывается
функциями вида
и
.
Определение. Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида
,
действительные
числа
называются коэффициентами
ряда.
Замечание. Тригонометрический ряд можно переписать в виде
.
Значит, любой периодический процесс, можно задать тригонометрическим рядом, т.е. наложением простых гармоник.
Члены такого ряда удовлетворяют соотношениям (m и n целые положительные числа):
при
любом n,
.
Замечание.
Приведенные
соотношения
показывают, что семейство функций
обладает
свойством
ортогональности,
т.е. интеграл
от произведения любых двух различных
функций этого семейства на интервале,
имеющем длину
,
равен нулю.
Будем рассматривать функции , имеющие период . Такие функции называют - периодическими.
Пусть
- произвольная периодическая функция
с периодом
.
Тогда можно построить тригонометрический
ряд на отрезке
следующим образом:
,
где
,
,
.
Определение.
Числа
,
определяемые по данным формулам,
называются коэффициентами
Фурье функции
,
а тригонометрический ряд с такими
коэффициентами – рядом
Фурье функции
;
при этом говорят: функции
соответствует (поставлен в соответствие)
ее ряд Фурье.