- •Тульский государственный университет
- •Методические указания
- •1. Введение.
- •2. Цели и задачи.
- •3. Задание на курсовую работу.
- •4. Объем и содержание курсовой работы.
- •5. Выполнение курсовой работы.
- •6. Защита курсовой работы.
- •7. Методические указания к выполнению
- •8. Оформление пояснительной записки.
- •9. Оформление графической части
- •10. Метод верхней оценки усилий
- •11. Варианты Заданий на курсовую работу (часть 1)
- •12. Метод осредненных напряжений
- •13. Варианты Заданий на курсовую работу
- •13. Исходные данные
- •Основной
- •Дополнительный
- •«Теория обработки металлов давлением»
- •Прессование полосы в гладкой конической матрице
11. Варианты Заданий на курсовую работу (часть 1)
Задача 1.1. Найти усилие осадки пластически однородной полосы между двумя жесткими плитами, сближающимися со скоростями . Известны размеры полосы и , а также предел текучести материала полосы при сдвиге к. Схема процесса осадки пластически однородной полосы и кинематически допустимое поле скоростей показаны на рис. 1.1а.
а |
б |
Рис. 1.1 Схема операции осадки (а) и годограф скоростей (б) |
Решение. Предполагаем, что длина полосы значительно больше ширины и толщины , т.е. , так что деформацию можно считать плоской. В поперечном сечении линии ОА, ОВ, ОС, ОD являются линиями разрыва скоростей (следами плоскостей разрыва, перпендикулярными плоскости чертежа).
В силу условия несжимаемости на этих линиях непрерывны нормальные составляющие скоростей, а разрывы касательных составляющих, как это следует из годографа скоростей (рис. 1.1б), определяется следующим образом:
.
Длина любой линии разрыва
.
Определим суммарную мощность разрыва
. (1.9)
Мощность внешних сил
,
где и - усилие и удельное усилие осадки полосы.
По теореме о верхних оценках
.
Отсюда находим
,
т.е. верхняя оценка удельного усилия осадки составляет
. (1.10)
Верхние оценки усилия и мощности осадки.
. (1.11)
Задача 1.2. Найти усилие вдавливания жесткого плоского штампа в пластическое полупространство. Деформацию считать плоской. Предел текучести материала при сдвиге равен . Схема процесса выдавливания и кинематически допустимое поле скоростей показаны на рис. 1.2а.
Решение. Поле скоростей характеризуется единственным параметром – углом , подлежащим определению из условия минимума мощности деформации.
а |
б |
Рис. 1.2 Схема операции (а) и годограф скоростей (б) |
Из годографа скоростей (рис. 1.2б) следует
.
Определяем длины линий разрыва:
.
Находим мощность разрыва
где - размер штампа в направлении, перпендикулярном к плоскости рисунка.
Мощность внешних сил
.
По теореме о внешних оценках получаем
.
Угол , при котором имеет минимум, найдем из уравнения
,
получающего после преобразований вид
.
Отсюда следует
.
Легко проверить, что при найденном значении
,
что соответствует минимуму .
Верхняя оценка удельного усилия при этом будет
, (1.12)
Верхние оценки усилия и мощности вдавливания штампа в пластическое полупространство находятся по формулам:
.
Задача 1.3. Найти усилие закрытой прошивки полосы пуансоном, перемещающимся относительно контейнера со скоростью . Предел текучести материала полосы при сдвиге равен . Геометрические размеры инструмента известны. Трением пренебречь. Схема процесса закрытой прошивки полосы показана на рис. 1.3а.
Решение. Кинематически допустимое поле скоростей в этом случае зависит от параметра (рис.1.3а), физический смысл которого состоит в том, что определяет глубину проникновения пластической деформации.
Из годографа скоростей (рис. 1.3б) следует:
Определяем длины линий разрыва:
Находим мощность разрыва:
где - размер в направлении, перпендикулярном к плоскости рисунка.
а |
б |
Рис. 1.3 Схема операции прошивки (а) и годограф скоростей (б) |
Мощность внешних сил
.
По теореме о верхних оценках получаем
.
Наилучшая (т.е. наименьшая) верхняя оценка соответствует значению параметра , определяемого из уравнения
.
Отсюда находим
.
Подставляя это значение в формулу для , окончательно получаем
. (1.13)
Верхние оценки усилия и мощности находятся по формулам:
.
Задача 1.4 . Найти усилие выдавливания полосы через гладкую клиновую матрицу. Геометрические параметры инструмента заданы. Предел текучести выдавливаемого материала при сдвиге равен .
Решение. Рассмотрим схему процесса выдавливания полосы через гладкую клиновую матрицу и кинематически допустимое поле скоростей (рис. 1.4а), которому соответствует годограф скоростей, изображенный на рис. 1.4б. Поле скоростей зависит от одного параметра, в качестве которого примем угол . Угол введён для большей наглядности.
а |
б |
Рис. 1.4 Схема операции выдавливания (а) и годограф скоростей (б) |
Из условия несжимаемости (равенства расходов)
находим скорость на выходе
,
где - степень редукции, .
Применяя к треугольникам на годографе скоростей теорему синусов, получаем
Определяем длины линий разрыва
Находим мощность разрыва
Из геометрических соображений имеем
.
Обозначим
.
Тогда
С учетом введенных обозначений выражение мощности разрыва примет вид
.
Мощность внешних сил
.
По теореме о верхних оценках
.
Минимум имеет место при условии
,
так как параметры и взаимно связаны.
Из этого условия получаем
или
(1.14)
Вводя значение , обеспечивающее минимум , в выражение для находим наилучшую верхнюю оценку удельного усилия выдавливания:
(1.15)
Верхние оценки усилия и мощности находятся по формулам:
.
Задача 1.5. Найти усилие выдавливания полосы через предельно шероховатую клиновую матрицу. Геометрические размеры инструмента и полосы известны. Предел текучести материала и полосы при сдвиге равен .
Решение. Отличие рассматриваемой задачи от предыдущей заключается в том, что теперь необходимо учесть мощность сил трения на границе материала с инструментом в пределах наклоненных участков матрицы.
Длина наклонного участка (см. рис. 1.4) составляет
.
Так как матрица предельно шероховата, то удельная сила трения равна , и мощность сил трения будет
По теореме о верхних оценках получаем
.
Отсюда для верхней оценки удельного усилия , используя выражения и из решения задачи 1.4, находим
.
Для дальнейшего анализа удобно представить в виде
,
где
.
Условие минимума по заключается в равенстве нулю первой производной . Отсюда
.
После преобразований получаем
. (1.16)
Вводя значение , определенное по формуле (1.16), в выражение для , окончательно находим
. (1.17)
Верхние оценки усилия и мощности находятся по формулам:
.
Задача 1.6. Найти усилие выдавливания полосы через гладкую плоскую матрицу со степенью редукции, равной . Предел текучести материала полосы при сдвиге равен .
Решение. Рассмотрим схему процесса выдавливания полосы через гладкую плоскую матрицу при (рис. 1.6а). Слева от оси симметрии изображено поле линий скольжения, справа - кинематически допустимое поле скоростей, полученное из поля линий скольжения заменой дуги окружности отрезка прямой.
а |
б |
Рис. 1.6 Схема операции выдавливания (а) и годограф скоростей (б) |
Из годографа скоростей (рис. 1.6б) определяем разрывы скоростей:
.
Находим длины линий разрыва:
Определяем мощность разрыва:
Мощность внешних сил
По теореме о верхних оценках
. (1.18)
Для повышения точности расчетов дугу окружности можно заменить двумя хордами (штрихпунктирные линии), тремя и т.д. Однако объем вычислений при этом увеличивается.
Верхние оценки усилия и мощности находятся по формулам:
.
Задача 1.7. Найти усилие выдавливания полосы через предельно шероховатую плоскую матрицу. Известны геометрические размеры и предел текучести при сдвиге материала полосы .
Рис. 1.7 |
Решение. Рассмотрим схему процесса выдавливания полосы через предварительно шероховатую плоскую матрицу (рис. 1.7). В кинематически допустимом поле скоростей предусмотрена возможность образования мертвых зон, ограниченных прямыми с углами наклона к вертикали. Однако в данном случае угол неизвестен, так как неизвестны заранее размеры мертвых зон. Поэтому в этой задаче подлежат определению из условия минимума как угол , так и угол . |
Используем выражение для , полученное при решении задачи 1.5:
.
Сформулируем условия минимума по и :
.
Второму условию удовлетворяет формула (1.16).
Рассмотрим первое условие:
.
Имеем
.
После преобразований получаем
, (1.19)
где
.
Приравнивая аргумент арккотангенсов в правых частях формул (1.16) и (1.19), после преобразований находим
. (1.20)
Выражение для имеет смысл, если
Вычисляем по формуле (1.20) угол , далее по формуле (1.16) находим угол , затем определяем величины , и :
; .
Задача 1.8. Найти силовые параметры процесса волочения полосы, если известны геометрические параметры и предел текучести материала полосы при сдвиге равен . Решение. Рассмотрим схему процесса волочения (рис. 1.8). Кинематически допустимое поле скоростей принято таким же, как и при решении задач 1.4 и 1.5. Поэтому выражение для будет аналогичным.
|
Рис.1.8 |
Мощность внешних сил при волочении
Поэтому остаются справедливыми и выражения (1.15) и (1.17) для верхней оценки удельного усилия волочения.
Для верхних оценок усилия и мощности волочения имеем
.
Задача 1.9. Выполнить задание 1.1 с учетом трения на контактных границах инструмента и заготовки.
Задача 1.10. Выполнить задание 1.3 с учетом трения на контактных границах инструмента и заготовки.