11. Варианты Заданий на курсовую работу (часть 1)

Задача 1.1. Найти усилие осадки пластически однородной полосы между двумя жесткими плитами, сближающимися со скоростями _. Известны размеры полосы и , а также предел текучести материала полосы при сдвиге к. Схема процесса осадки пластически однородной полосы и кинематически допустимое поле скоростей показаны на рис. 1.1а.

а	б
Рис. 1.1 Схема операции осадки (а) и годограф скоростей (б)

Решение. Предполагаем, что длина полосы значительно больше ширины и толщины , т.е. , так что деформацию можно считать плоской. В поперечном сечении линии ОА, ОВ, ОС, ОD являются линиями разрыва скоростей (следами плоскостей разрыва, перпендикулярными плоскости чертежа).

В силу условия несжимаемости на этих линиях непрерывны нормальные составляющие скоростей, а разрывы касательных составляющих, как это следует из годографа скоростей (рис. 1.1б), определяется следующим образом:

.

Длина любой линии разрыва

.

Определим суммарную мощность разрыва

. (1.9)

Мощность внешних сил

,

где и - усилие и удельное усилие осадки полосы.

По теореме о верхних оценках

.

Отсюда находим

,

т.е. верхняя оценка удельного усилия осадки составляет

. (1.10)

Верхние оценки усилия и мощности осадки.

. (1.11)

Задача 1.2. Найти усилие вдавливания жесткого плоского штампа в пластическое полупространство. Деформацию считать плоской. Предел текучести материала при сдвиге равен . Схема процесса выдавливания и кинематически допустимое поле скоростей показаны на рис. 1.2а.

Решение. Поле скоростей характеризуется единственным параметром – углом , подлежащим определению из условия минимума мощности деформации.

а	б
Рис. 1.2 Схема операции (а) и годограф скоростей (б)

Из годографа скоростей (рис. 1.2б) следует

.

Определяем длины линий разрыва:

.

Находим мощность разрыва

где - размер штампа в направлении, перпендикулярном к плоскости рисунка.

Мощность внешних сил

.

По теореме о внешних оценках получаем

.

Угол , при котором имеет минимум, найдем из уравнения

,

получающего после преобразований вид

.

Отсюда следует

.

Легко проверить, что при найденном значении

,

что соответствует минимуму .

Верхняя оценка удельного усилия при этом будет

, (1.12)

Верхние оценки усилия и мощности вдавливания штампа в пластическое полупространство находятся по формулам:

.

Задача 1.3. Найти усилие закрытой прошивки полосы пуансоном, перемещающимся относительно контейнера со скоростью . Предел текучести материала полосы при сдвиге равен . Геометрические размеры инструмента известны. Трением пренебречь. Схема процесса закрытой прошивки полосы показана на рис. 1.3а.

Решение. Кинематически допустимое поле скоростей в этом случае зависит от параметра (рис.1.3а), физический смысл которого состоит в том, что определяет глубину проникновения пластической деформации.

Из годографа скоростей (рис. 1.3б) следует:

Определяем длины линий разрыва:

Находим мощность разрыва:

где - размер в направлении, перпендикулярном к плоскости рисунка.

а	б
Рис. 1.3 Схема операции прошивки (а) и годограф скоростей (б)

Мощность внешних сил

.

По теореме о верхних оценках получаем

.

Наилучшая (т.е. наименьшая) верхняя оценка соответствует значению параметра , определяемого из уравнения

.

Отсюда находим

.

Подставляя это значение в формулу для , окончательно получаем

. (1.13)

Верхние оценки усилия и мощности находятся по формулам:

_.

Задача 1.4 . Найти усилие выдавливания полосы через гладкую клиновую матрицу. Геометрические параметры инструмента заданы. Предел текучести выдавливаемого материала при сдвиге равен .

Решение. Рассмотрим схему процесса выдавливания полосы через гладкую клиновую матрицу и кинематически допустимое поле скоростей (рис. 1.4а), которому соответствует годограф скоростей, изображенный на рис. 1.4б. Поле скоростей зависит от одного параметра, в качестве которого примем угол . Угол введён для большей наглядности.

а	б
Рис. 1.4 Схема операции выдавливания (а) и годограф скоростей (б)

Из условия несжимаемости (равенства расходов)

находим скорость на выходе

,

где - степень редукции, .

Применяя к треугольникам на годографе скоростей теорему синусов, получаем

Определяем длины линий разрыва

Находим мощность разрыва

Из геометрических соображений имеем

.

Обозначим

.

Тогда

С учетом введенных обозначений выражение мощности разрыва примет вид

.

Мощность внешних сил

.

По теореме о верхних оценках

.

Минимум имеет место при условии

,

так как параметры и взаимно связаны.

Из этого условия получаем

или

(1.14)

Вводя значение , обеспечивающее минимум , в выражение для находим наилучшую верхнюю оценку удельного усилия выдавливания:

(1.15)

Верхние оценки усилия и мощности находятся по формулам:

_.

Задача 1.5. Найти усилие выдавливания полосы через предельно шероховатую клиновую матрицу. Геометрические размеры инструмента и полосы известны. Предел текучести материала и полосы при сдвиге равен .

Решение. Отличие рассматриваемой задачи от предыдущей заключается в том, что теперь необходимо учесть мощность сил трения на границе материала с инструментом в пределах наклоненных участков матрицы.

Длина наклонного участка (см. рис. 1.4) составляет

.

Так как матрица предельно шероховата, то удельная сила трения равна , и мощность сил трения будет

По теореме о верхних оценках получаем

.

Отсюда для верхней оценки удельного усилия , используя выражения и из решения задачи 1.4, находим

.

Для дальнейшего анализа удобно представить в виде

,

где

.

Условие минимума по заключается в равенстве нулю первой производной . Отсюда

.

После преобразований получаем

. (1.16)

Вводя значение , определенное по формуле (1.16), в выражение для , окончательно находим

. (1.17)

Верхние оценки усилия и мощности находятся по формулам:

_.

Задача 1.6. Найти усилие выдавливания полосы через гладкую плоскую матрицу со степенью редукции, равной . Предел текучести материала полосы при сдвиге равен .

Решение. Рассмотрим схему процесса выдавливания полосы через гладкую плоскую матрицу при (рис. 1.6а). Слева от оси симметрии изображено поле линий скольжения, справа - кинематически допустимое поле скоростей, полученное из поля линий скольжения заменой дуги окружности отрезка прямой.

а	б
Рис. 1.6 Схема операции выдавливания (а) и годограф скоростей (б)

Из годографа скоростей (рис. 1.6б) определяем разрывы скоростей:

.

Находим длины линий разрыва:

Определяем мощность разрыва:

Мощность внешних сил

По теореме о верхних оценках

. (1.18)

Для повышения точности расчетов дугу окружности можно заменить двумя хордами (штрихпунктирные линии), тремя и т.д. Однако объем вычислений при этом увеличивается.

Верхние оценки усилия и мощности находятся по формулам:

_.

Задача 1.7. Найти усилие выдавливания полосы через предельно шероховатую плоскую матрицу. Известны геометрические размеры и предел текучести при сдвиге материала полосы .

Рис. 1.7

Решение. Рассмотрим схему процесса выдавливания полосы через предварительно шероховатую плоскую матрицу (рис. 1.7). В кинематически допустимом поле скоростей предусмотрена возможность образования мертвых зон, ограниченных прямыми с углами наклона к вертикали. Однако в данном случае угол неизвестен, так как неизвестны заранее размеры мертвых зон. Поэтому в этой задаче подлежат определению из условия минимума как угол , так и угол .

Используем выражение для , полученное при решении задачи 1.5:

.

Сформулируем условия минимума по и :

.

Второму условию удовлетворяет формула (1.16).

Рассмотрим первое условие:

.

Имеем

.

После преобразований получаем

, (1.19)

где

.

Приравнивая аргумент арккотангенсов в правых частях формул (1.16) и (1.19), после преобразований находим

. (1.20)

Выражение для имеет смысл, если

Вычисляем по формуле (1.20) угол , далее по формуле (1.16) находим угол , затем определяем величины , и :

; _.

Задача 1.8. Найти силовые параметры процесса волочения полосы, если известны геометрические параметры и предел текучести материала полосы при сдвиге равен . Решение. Рассмотрим схему процесса волочения (рис. 1.8). Кинематически допустимое поле скоростей принято таким же, как и при решении задач 1.4 и 1.5. Поэтому выражение для будет аналогичным.

Рис.1.8

Мощность внешних сил при волочении

Поэтому остаются справедливыми и выражения (1.15) и (1.17) для верхней оценки удельного усилия волочения.

Для верхних оценок усилия и мощности волочения имеем

.

Задача 1.9. Выполнить задание 1.1 с учетом трения на контактных границах инструмента и заготовки.

Задача 1.10. Выполнить задание 1.3 с учетом трения на контактных границах инструмента и заготовки.