12. Функції багатьох змінних

Якщо кожній парі чисел , де , поставлено у відповідність за певним правилом значення , то говорять, що задана функція двох змінних, яку позначають .

Змінні і називають аргументами.

Якщо надати приросту , а - приросту , то одержить приріст . Частинний приріст , частинний приріст .

Частинні похідні першого порядку:

, .

Їх знаходять як звичайні похідні, вважаючи при обчисленні змінну сталою, а при обчисленні змінну сталою. Оскільки частинні похідні першого порядку для функції двох змінних є функціями цих змінних, то можна знайти частинні похідні другого порядку: , , .

Необхідні умови екстремуму функції двох змінних

Якщо в точці функція досягає екстремуму, то її частинні похідні перешого порядку в цій точці дорівнюють нулю:

Достатні умови екстремуму функції двох змінних

Нехай в точці виконується умова і існують частинні похідні другого порядку ; .

Визначимо:

Якщо то в точці функція має екстремум; якщо то екстремуму немає.

Якщо і (або і ), то функція досягає мінімуму, якщо і (або і ), то функція досягає максимуму.

Градієнтом функції двох змінних називається вектор

g= .

Для функції градієнт має вид

g=

13. Невизначений інтеграл.

Первісною функцією до заданої функції називається функція , похідна якої дорівнює , а диференціал :

або .

Множина всіх первісних для даної функції , де - довільна стала, називається невизначеним інтегралом від функції і позначається .

Отже, .

В формулі називається підінтегральною функцією, - підінтегральним виразом, а символ - знаком невизначеного інтеграла.

Основні властивості невизначеного інтеграла.

1. Похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції, а диференціал – підінтегральному виразу:

.

2. Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює цій функції з точністю до сталої:

.

3. Постійний множник можна виносити за знак невизначеного інтеграла:

.

4. Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів від кожного з цих доданків:

.

ТАБЛИЦЯ ОСНОВНИХ ІНТЕГРАЛІВ

14. Методи обчислення невизначених інтегралів

а) метод беспосереднього інтегрування полягає в прямому застосуванні властивостей інтегралів і таблиці основних інтегралів.

б) метод заміни змінної застосовується для зведення до табличного, введенням підстановки і використонням формули .

Інколи доцільно вводити заміну , щоб звести інтеграл до табличного.

в) метод інтегрування частинами грунтується на використанні формули: . Підінтегральний вираз подають у вигляді добутку множників і . Якщо він містить добуток многочлена на тригонометричну або показникову функцію, то за слід взяти многочлен, а все решту за . Якщо підінтегральний вираз містить добуток многочлена на логарифмічну чи аркфункцію, то за слід брати логарифмічну або аркфункцію, а решта – за .

Не всякий інтеграл можна виразити через відомі елементарні функції.

Завжди інтегруються раціональні функції, які мають вигляд

, де - многочлени.

Якщо найвищий степінь многочлена менший за найвищий степінь многочлена , то дріб називають правильним, в іншому випадку неправильним.

З неправильного дробу виділяють цілу частину шляхом ділення двох многочленів і, таким чином, зводять інтегрування його до інтегрування цілої раціональної функції і правильного дробу.

Правильний дріб можна розкласти на суму найпростіших дробів чотирьох типів:

1) ; 2) ; 3) ; 4) , кожен з яких інтегрується.

Інтеграли виду , якщо непарне число, обчислюється підстановкою , якщо непарне число – підстановкою . Якщо обидва показники парні, то використовуючи формули пониження степеня тригонометричних функцій:

, , , прийдемо до обчислення інтегралів, в яких хоч один із степенів буде непарним.

Інтеграли типу , ,

перетворюють з використанням формул перетворення добутку тригонометричних функцій у суму.

,

,

.

Інтеграли типу , де - раціональна функція від можна звести до інтегрування раціональних дробів за допомогою універсальної підстановки , скориставшись формулами , , .

Інтеграли від ірраціональних функцій

1) , де підінтегральна функція раціональна відносно зводять до інтегралів від раціональних функцій підстановкою , де - найменше спільне кратне чисел

2) Для використовують підстановку

; для - ( .