9. Диференціальне числення функцій однієї змінної

Похідною функції уf(x) в точці x називається границя відношення приросту функції ∆у до приросту аргументу ∆х в цій точці,

коли ∆х →0

Позначають похідну .

.

Якщо ця границя скінченна, то функція називається диференційованою в т. . Основні правила і формули диференціювання поміщені в таблиці:

ОСНОВНІ ФОРМУЛИ ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ
y = C	y' = 0	y = x	y' = 1
y = Cu	y' = Cu'	y = u v	y' = u' v'
y = uv	y' = u'v +v'u
	y΄= cosu u΄		y΄= - sinu u΄
yf(u), u(x)		x=(y) обернена до yf(x)

Диференціал функції обчислюється за формулою:

.

10. Застосування похідної.

Правило Лопіталя. Для “невизначеностей типу та ” границя відношення функцій дорівнює границі відношення їх похідних, якщо вона існує.

Достатні умови зростання та спадання функції. Якщо похідна неперервної на відрізку функції додатна, то функція зростає, якщо похідна – від’ємна, то функція спадна.

Необхідні умови екстремуму функції. Якщо в точці функція має екстремум, то її похідна в цій точці дорівнює нулю або не існує.

Точки, в яких похідна дорівнює нулю або не існує називають критичними.

Достатні умови екстремуму (перше правило).

Якщо при переході через критичну точку зліва на право похідна змінює знак з “+” на “-”, то в цій точці функція має максимум., а при зміні знака з “-” на “+” – мінімум. Якщо знак не міняється, то екстремуму не має.

Друге правило.

Якщо в критичній точці друга похідна , то в цій точці функція має екстремум: максимум при , мінімум при .

Графік функції опуклий на проміжку , якщо в кожній точці його і вгнутий, якщо .

Точка , в якій і при переході через яку змінює знак є точкою перегину.

В економічних дослідженнях використовують поняття еластичності функції , яке виражається через похідну

.

11. Повне дослідження функції

Загальна схема дослідження функції і побудова її графіка.

1. Знаходимо область визначення функції у = f(x).

2. Знаходимо точки перетину кривої у=f(x) з осями координат, відкладаємо їх на рисунку.

3. Визначаємо, чи симетрична крива у = f(x) відносно осей ко­ординат і початку координат (парність і непарність).

4. Досліджуємо функцію на неперервність. Якщо функція має у точці x₀ розрив, то визначаємо, якого він роду.

5. Досліджуємо функцію на періодичність.

6. Знаходимо асимптоти кривої, якщо вони існують.

7. Визначаємо інтервали монотонності, максимум і мінімум функції і позначаємо на рисунку точки кривої з максимальною і мінімальною ординатами.

8. Знаходимо точки перегину, інтервали опуклості і увігнутості.