Методика эксперимента и описание установки

Маятник Обербека состоит из шкива диаметром и 4 одинаковых стержней , расположенных под углом 90º друг к другу и укрепленных на горизонтальной оси (рис. 5). На каждом стержне закрепляется по

одному грузу одинаковой массы . Возможность фиксирования данных грузов на различных расстояниях от оси вращения позволяет изменять момент инерции маятника Обербека. На шкив наматывается нить, к концу которой прикрепляется груз массой , приводящий всю систему во вращательное движение.

Определим основные величины, входящие в уравнение (11).

При несвободном падении груза с высоты h за время t, измеренное экспериментально, можно рассчитать ускорение его движения:

. (14)

Так как нить сматывается без скольжения, линейное ускорение движущегося груза равно тангенциальному ускорению а_τ точек, лежащих на поверхности шкива. Используя связь между угловым β и тангенциальным а_τ ускорениями, получим формулу для нахождения углового ускорения вращающейся системы

, (15)

где - радиус шкива.

При вращении прибора его момент инерции не изменяется (J = const), следовательно, на основании уравнения (11) имеем:

. (16)

Таким образом, проверка основного закона динамики вращательного движения твердого тела сводится к экспериментальной проверке равенства при любых моментах действующих сил.

Вращающий момент системы без учета силы трения в опоре создается силой натяжения нити . Ее можно найти из уравнения динамики поступательного движения груза , которое в проекции на выбранное направление х будет иметь вид , откуда . Момент этой силы относительно оси вращения

. (17)

Подставив значения а, β и М в выражение (16), получим формулу, с помощью которой можно осуществить экспериментальную проверку изучаемого закона:

. (18)

Формула (18) далее будет использована для определения моментов инерции маятника Обербека с грузами на стержнях и без грузов, для экспериментальной проверки теоремы Штейнера.

Изменяя массу груза m и радиус шкива r, можно изменять момент силы М и, следовательно, угловое ускорение β. При этом отношение для данного расположения грузов массой на стержнях должно оставаться неизменным.

Проверка теоремы Штейнера

Поскольку момент инерции – величина аддитивная, т.е. равная сумме моментов инерции всех элементарных масс, составляющих систему частиц, то полный момент инерции маятника равен

, (19)

где J₀ – момент инерции маятника без четырех грузов, J' – момент инерции грузов относительно оси вращения.

По теореме Штейнера момент инерции четырех грузов (цилиндров) определяется выражением

, (20)

где m' – масса одного цилиндра, R – расстояние его центра масс от оси вращения, - момент инерции одного цилиндра относительно оси вращения проходящей через его центр масс, l – длина цилиндра (рис. 5).

Следовательно, момент инерции системы будет равен

. (21)

Таким образом, определив по формуле (18) момент инерции J₀ маятника без грузов на стержнях и его момент инерции J с грузами (по формуле (21)), можно найти момент инерции грузов J´ и сравнить его со значением, вычисленным по формуле (20)

. (22)

Выражение (22) используется для экспериментальной проверки теоремы Штейнера. С одной стороны момент инерции грузов J' определяется экспериментально по разности измеренных значений J и J₀. С другой стороны этот же момент инерции можно рассчитать теоретически по формуле (20). Входящие в (18) величины m', R и l измеряются предварительно.