Движение: абсолютное, относительное, переносное. Теорема Эйлера. Угловая скорость.

Дополнительно к неподвижным осям Oxyz (система S) введем в рассмотрение некоторое подвижное твердое тело и неизменно связанную с ним систему прямоугольных осей координат O’x’y’z’ (система S’).

Движение точки относительно подвижной системы осей S’ называется относительным движением.

Движение точки относительно неподвижных осей S называется абсолютным движением.

Переносным движением точки за интервал времени (t,t+t) называется то движение по отношению к осям S, которая эта точка имела бы, если бы в момент времени t и на интервал (t,t+t) она была неизменно связана с подвижной системой осей и, следовательно, перемещалась бы вместе с этой системой.

Траектория, скорость и ускорение называются абсолютными, относительными или переносными, смотря по тому, относятся ли они к движению абсолютному, относительному или переносному.

Теорема Эйлера: Если относительно системы S система S' имеет одну неподвижную точку, то перемещение S' из одного произвольного положения в любое другое может быть совершено одним поворотом на определенный угол относительно оси, проходящей через эту неподвижную точку.

Для доказательства достаточно показать возможность перевода одним поворотом дуги, например, _{, из положения 1 в положение 2.}.

	
		Обозначим точки в положении 1 через x1'z1', а в положении 2 через x2' z2'. Проведем два экватора: , перпендикулярный середине x1'x2', и , перпендикулярный середине z1'z2'. Получим две точки пересечения этих экваторов – с и d. x1'z1'd = z2'x2'd (так как x1'z1' = x2'z2', а x1'd = x2'd в силу того, что точка d лежит на экваторе, перпендикулярном середине x1'x2', z1'd = z2'd по той же причине) Таким образом, x1'dz1' = z2'dx2' и угол между дугами x1'd и x2'd равен углу между дугами z1'd и z2'd, то есть нужно повернуть x1'z1' относительно оси dO'c на угол x1'dz1' (или равный ему z2'dx2')

Теорема Эйлера справедлива и для конечных и для бесконечно малых поворотов.

При рассмотрении задач о движении тела с одной закрепленной точкой, которые имеют большое практическое значение, для определения (фиксации) положения системы S' относительно S широко используются три угла Эйлера.

Пересечение плоскостей O'xy и O'x'y' дает прямую, которую называют линией узлов (орт линии узлов - ). Первый угол Эйлера  - угол между осью O'x и линией узлов. Второй угол  - угол между линией узлов и осью O'x'. Третий угол  - угол между осями O'z и O'z'.

Эти три угла однозначно определяют положение системы S' относительно S

Таким образом, при бесконечно малом повороте системы S' относительно S на углы d,d,d (некоторые из них могут быть равными нулю) их можно заменить одним поворотом на угол d вокруг некоторой оси, проходящей через точку O'.

Введем в рассмотрение вектор бесконечно малого поворота:

(здесь направлен по оси вращения по правилу правого винта)

Величина и направление вектора d при сложном движении могут изменяться. Ось называется осью мгновенного вращения. Посмотрим, что происходит с ортами системы S' при ее повороте на угол

Угловую скорость вращения определим следующим образом , угловое ускорение Тогда , а также , (*)