- •Кафедра прикладной механики
- •Часть 1. Статика.
- •Типовые виды связей.
- •Момент силы относительно точки и оси
- •Приведение системы сил к простейшей системе
- •Условия равновесия систем сил Пространственная система сил
- •Пространственная система параллельных сил
- •Плоская система сил
- •После отбрасывания тождеств
- •Теорема о моменте равнодействующей силы (теорема Вариньона)
- •Статически определимые и неопределимые задачи
- •Равновесие системы тел
- •А) Трение скольжения
- •Законы Кулона для сухого трения скольжения
- •Б) Трение качения
- •Законы Кулона для трения качения
- •Методы определения центров масс.
- •Часть II Кинематика
- •Скорость и ускорение точки в естественной системе координат
- •Скорость и ускорение точки в полярных координатах
- •Скорость и ускорение точки в цилиндрических координатах
- •Движение: абсолютное, относительное, переносное. Теорема Эйлера. Угловая скорость.
- •Сложное движение точки.
- •Степени свободы. Теорема о проекциях
- •Поступательное движение твердого тела
- •Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •Скорости и ускорения точек тела при вращении
- •Для точки касания дисков 1,2 нрормальные напряжения равны
- •Плоское движение твердого тела
- •Разложение плоского движения твердого тела на поступательное и вращательное
- •Скорость точек тела при плоском движении. Мгновенный центр скоростей.
- •Способы нахождения мгновенного центра скоростей.
- •Вычисление угловой скорости при плоском движении.
- •Ускорения точек при плоском движении. Мгновенный центр ускорений.
- •Способы нахождения мгновенного центра ускорений.
- •Часть III Динамика Классификация сил. Динамика материальной точки.
- •Дифференциальные уравнения движения материальной точки. Две основные задачи динамики точки.
- •Основные виды прямолинейного движения точки. Криволинейное движение.
- •Свободные колебания системы с одной степенью свободы без трения.
- •Свободные колебания системы с одной степенью свободы при наличии трения
- •Вынужденные колебания Системы с одной степенью свободы при отсутствии трения
- •Механическая система. Силы внешние и внутренние Механической системой называется любая совокупность материальных точек.
- •Внутренними силами материальной системы называют силы взаимодействия между точками рассматриваемой системы, мы их будем обозначать . Простейшие свойства внутренних сил системы
- •Дифференциальные уравнения движения системы
- •Геометрические характеристики системы материальных точек. Моменты инерции. Теорема Штейнера. Эллипсоид инерции.
- •Теорема Штейнера
- •Эллипсоид инерции
- •Общие теоремы динамики системы Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс Количество движения точки и системы
- •Элементарный и полный импульс силы
- •Теорема об изменении количества движения точки
- •Теорема об изменении количества движения системы
- •В проекциях на оси координат
- •Законы сохранения количества движения
- •Теорема о движении центра масс
- •Теорема об изменении кинетического момента Кинетический момент точки и системы
- •Теорема об изменении кинетического момента точки
- •Теорема об изменении кинетического момента системы точек
- •Движение точки под действием центральной силы. Законы Кеплера. Секторная скорость, теорема площадей
- •Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела
- •Теорема об изменении кинетической энергии
- •Теорема об изменении кинетической энергии точки
- •Теорема об изменении кинетической энергии системы материальных точек
- •Потенциальное силовое поле и потенциальная энергия
- •Закон сохранения механической энергии
- •Принцип д'Аламбера для материальной точки
- •Принцип д'Аламбера для механической системы
- •Главный вектор сил инерции механической системы
- •Главный вектор сил инерции твердого тела
- •Главный момент сил инерции механической системы
- •Главный момент сил инерции твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
- •Связи и их классификация
- •Основные понятия аналитической механики
- •Принцип возможных перемещений
- •Общее уравнение динамики
- •Уравнения лагранжа 2-го рода
- •Обобщенные силы
- •Литература
Свободные колебания системы с одной степенью свободы при наличии трения
Вязкое трение
В этом случае возникает сопротивление движению, которое пропорционально его скорости. При этом сила сопротивления описывается выражением
,
где k- коэффициент пропорциональности.
Примером системы, работающей в условиях вязкого трения, может служить гидравлический амортизатор, который создаёт сопротивление движению поршня, зависящее не от перемещения (как это свойственно упругим связям), а от скорости и пропорционально её первой степени. Подобные устройства применяются, например, в конструкциях автомобильной подвески. Гидравлический амортизатор состоит из одного или нескольких цилиндров с поршнями или из камеры, в которой может вращаться крыльчатка. Цилиндры и камера наполнены амортизационной жидкостью. При движении поршней или крыльчатки эта жидкость продавливается через калиброванные отверстия; этим создаётся сопротивление, по характеру близкое к вязкому. В формуле R- это сила, действующая на амортизатор, а вязкая реакция амортизатора на колеблющееся тело имеет противоположное направление.
Дифференциальное уравнение движения в рассматриваемом случае таково:
,
или
,
где
; .
Для рассматриваемого линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами характеристическое уравнение имеет вид
,
.
Обозначим
.
Тогда решение определяется формулой
или
,
где
; .
Следовательно, при наличии вязкого трения движение груза описывается непериодическим законом. Тем не менее, часто это движение называют периодическими затухающими колебаниями, несмотря на очевидную невозможность совмещения понятий "периодические" и "затухающие".
Рис. 5
Под периодом этих колебаний понимают время между двумя максимальными смещениями:
.
Величину называют угловой частотой затухающих колебаний.
Отношение двух последовательных максимальных отклонений от положения равновесия
.
Значит, последовательные максимальные отклонения системы от равновесного положения (амплитуды колебаний) представляют собой члены геометрической прогрессии со знаменателем, равным . Чаще рассматривают не отношение двух последовательных амплитуд, а логарифм этого отношения, который называют логарифмическим декрементом колебаний:
.
В металлических конструкциях без специально введенных элементов трения логарифмический декремент составляет обычно от нескольких сотых до десятых долей единицы.
Если колебания затухают медленно и отношение двух последовательных амплитуд близко к единице, то
,
где
; .
Таким образом, при малом затухании логарифмический декремент примерно равен отношению изменения амплитуды колебаний за период к амплитуде А.
Так как логарифмический декремент колебаний
,
то
.
Подставляя значение n2 в формулу для , установим связь между величинами , и :
.
Отсюда следует, что даже при значительном затухании частота затухающих колебаний мало отличается от частоты собственных колебаний соответствующей системы без трения. Например, при сравнительно большом затухании, когда каждый следующий размах вдвое меньше предыдущего ( ), частота лишь на 0,6 % меньше, чем . Таким образом, можно считать, что трение практически не влияет на частоту колебаний и .
Определим постоянные интегрирования в решении уравнения затухающих колебаний. Обозначим смещение и скорость в начальный момент времени t0=0 через x0 и соответственно. После подстановки начельных условий получим
x0=C1; ,
тогда
C1=x0; ,
и решение , удовлетворяющее начальным условиям, имеет вид
Пример 5. Амплитуда собственных колебаний за один период уменьшилась в два раза. Определить логарифмический декремент колебаний и изменение собственной частоты вследствие затухания.
Решение.
Логарифмический декремент колебаний:
;
,
откуда
.
Собственная частота колебаний:
,
т. е. изменение собственной частоты вследствие затухания составляет 0,6 %.
Лекция 11 (динамика)
«Вынужденные колебания механической системы.
Механическая система. Силы внешние и внутренние»