- •Кафедра прикладной механики
- •Часть 1. Статика.
- •Типовые виды связей.
- •Момент силы относительно точки и оси
- •Приведение системы сил к простейшей системе
- •Условия равновесия систем сил Пространственная система сил
- •Пространственная система параллельных сил
- •Плоская система сил
- •После отбрасывания тождеств
- •Теорема о моменте равнодействующей силы (теорема Вариньона)
- •Статически определимые и неопределимые задачи
- •Равновесие системы тел
- •А) Трение скольжения
- •Законы Кулона для сухого трения скольжения
- •Б) Трение качения
- •Законы Кулона для трения качения
- •Методы определения центров масс.
- •Часть II Кинематика
- •Скорость и ускорение точки в естественной системе координат
- •Скорость и ускорение точки в полярных координатах
- •Скорость и ускорение точки в цилиндрических координатах
- •Движение: абсолютное, относительное, переносное. Теорема Эйлера. Угловая скорость.
- •Сложное движение точки.
- •Степени свободы. Теорема о проекциях
- •Поступательное движение твердого тела
- •Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •Скорости и ускорения точек тела при вращении
- •Для точки касания дисков 1,2 нрормальные напряжения равны
- •Плоское движение твердого тела
- •Разложение плоского движения твердого тела на поступательное и вращательное
- •Скорость точек тела при плоском движении. Мгновенный центр скоростей.
- •Способы нахождения мгновенного центра скоростей.
- •Вычисление угловой скорости при плоском движении.
- •Ускорения точек при плоском движении. Мгновенный центр ускорений.
- •Способы нахождения мгновенного центра ускорений.
- •Часть III Динамика Классификация сил. Динамика материальной точки.
- •Дифференциальные уравнения движения материальной точки. Две основные задачи динамики точки.
- •Основные виды прямолинейного движения точки. Криволинейное движение.
- •Свободные колебания системы с одной степенью свободы без трения.
- •Свободные колебания системы с одной степенью свободы при наличии трения
- •Вынужденные колебания Системы с одной степенью свободы при отсутствии трения
- •Механическая система. Силы внешние и внутренние Механической системой называется любая совокупность материальных точек.
- •Внутренними силами материальной системы называют силы взаимодействия между точками рассматриваемой системы, мы их будем обозначать . Простейшие свойства внутренних сил системы
- •Дифференциальные уравнения движения системы
- •Геометрические характеристики системы материальных точек. Моменты инерции. Теорема Штейнера. Эллипсоид инерции.
- •Теорема Штейнера
- •Эллипсоид инерции
- •Общие теоремы динамики системы Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс Количество движения точки и системы
- •Элементарный и полный импульс силы
- •Теорема об изменении количества движения точки
- •Теорема об изменении количества движения системы
- •В проекциях на оси координат
- •Законы сохранения количества движения
- •Теорема о движении центра масс
- •Теорема об изменении кинетического момента Кинетический момент точки и системы
- •Теорема об изменении кинетического момента точки
- •Теорема об изменении кинетического момента системы точек
- •Движение точки под действием центральной силы. Законы Кеплера. Секторная скорость, теорема площадей
- •Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела
- •Теорема об изменении кинетической энергии
- •Теорема об изменении кинетической энергии точки
- •Теорема об изменении кинетической энергии системы материальных точек
- •Потенциальное силовое поле и потенциальная энергия
- •Закон сохранения механической энергии
- •Принцип д'Аламбера для материальной точки
- •Принцип д'Аламбера для механической системы
- •Главный вектор сил инерции механической системы
- •Главный вектор сил инерции твердого тела
- •Главный момент сил инерции механической системы
- •Главный момент сил инерции твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
- •Связи и их классификация
- •Основные понятия аналитической механики
- •Принцип возможных перемещений
- •Общее уравнение динамики
- •Уравнения лагранжа 2-го рода
- •Обобщенные силы
- •Литература
Принцип д'Аламбера для механической системы
Рассмотрим материальную точку массой тk системы, состоящей из N точек. Обозначим ускорение этой точки ak, равнодействующую внешних сил через , равнодействующую внутренних сил, приложенных к той же точке через . Реакции связей входят в . Тогда принцип Д'Аламбера будет иметь вид
,
где .
Складывая почленно полученные уравнения для всех N точек, получим
k = l,2,...,N.
В этом уравнении первая сумма равна главному вектору внешних сил, приложенных к системе; вторая сумма равна нулю, поскольку геометрическая сумма всех внутренних сил системы равна нулю; последняя - главному вектору сил инерции. Таким образом,
,
т.е. в каждый момент времени сумма главных векторов внешних сил и сил инерции движущейся системы равна нулю.
Выберем произвольный полюс О и проведем из него к точке тк радиус-вектор . Умножая каждое слагаемое принципа Д'Аламбера векторно на соответствующий радиус-вектор слева и складывая все N полученных таким образом уравнений, имеем
, k = l,2,...,N
Первая сумма равна главному моменту внешних сил, приложенных к системе; вторая сумма равна нулю, а последняя -главному моменту сил инерции. Следовательно,
,
т.е. в каждый момент времени сумма главных моментов внешних сил и сип инерции движущейся механической системы равна нулю.
Двум векторным уравнениям соответствуют шесть уравнений в проекциях на оси декартовых координат
, ,
, ,
Движение твердого тела, как частный случай механической системы, вполне определяется этими шестью уравнениями. Если рассматривается система, состоящая из нескольких тел, то можно составить соответствующие уравнения для каждого тела в отдельности.
Главный вектор сил инерции механической системы
Вычислим главный вектор сил инерции. Имеем
Сумма , где rc - радиус-вектор центра масс системы, следовательно,
,
т.е. главный вектор сил инерции системы равен произведению массы всей системы на ускорение центра масс, приложен в точку центра масс и направлен противоположно вектору ас.
Главный вектор сил инерции твердого тела
Твердое тело является частным случаем механической системы. Следовательно, главный вектор сил инерции твердого тела находится также как и для механической системы.
Тогда проекции главного вектора на декартовые оси координат имеют вид
, , ,
здесь хс, yc, zc - координаты центра масс тела.
Если тело движется прямолинейно по си х, то
, , .
Главный момент сил инерции механической системы
Вычислим главный момент сил инерции системы.
Имеем
, k = 1,2,..,N;
так как , преобразуем правую часть
Здесь - кинетический момент системы.
Подставляя полученное выражение в теорему об изменении кинетического момента, получаем значение главного момента сил инерции
Главный момент сил инерции твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
В ычислим координаты главного момента сил инерции твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Ось Oz совместим с осью вращения, а оси Ох и Оу скрепим с вращающимся телом, тогда (0,0,ε) и (0,0,ω), rk(xk;yk;zk) - радиус-вектор рассматриваемой точки тк. При вращении тела вокруг неподвижной оси Oz ускорение любой точки тк состоит из нормального ускорения и касательного ускорения , где hk - расстояние точки k от оси вращения Oz:
;
;
.
Здесь учтено, что hkcosφ = xk , hksinφ = ук, хк и ук - координаты точки тк.
Тогда, согласно (6.12), получим,
Здесь Jxz, Jyz - центробежные моменты инерции, Jz - осевой момент инерции.
Таким образом, главный момент сил инерции твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, сводится к паре сил, момент которой равен
где
, ,
Если ось вращения проходит через центр тяжести тела и оси Oxyz являются главными осями, то
, ,
Пример 3. Через блок весом Mg и радиусом R перекинута нерастяжимая нить, на конце которой подвешен груз А весом mg. Определить ускорение а груза А, натяжение нити Т и давление на подшипник оси блока.
Решение. Пусть груз А опускается вниз, тогда сила инерции груза вверх: Fи = ma.
Поскольку ось вращения диска является осью симметрии, то Jxz=Jyz = 0. Следовательно, момент от сил инерции, равен и направлен в сторону противоположную вращению диска.
Отбросим опору О, заменим ее действие реакциями подшипника Rx и Ry. Составим уравнения кинетостатики:
, ;
, ;
, .
Подставим в последнее уравнение значения силы инерции F(u)=ma и момента от сил инерции = (J/R)a, где t = a/R, и решим его относительно ускорения а.
Получим
, .
Тогда из первых двух уравнений (а) определим
,
Для определения натяжения нити разорвем гибкую связь и заменим ее действие натяжением Т. Добавляя внешнюю силу mg и силу инерции F(и), имеем
-mg+F(u)+T = 0,
откуда T = mg- F(и) = m(g - а) = .
Если считать диск сплошным телом, то Jz - —mR2, тогда
, , , .
Лекция 16 (Аналитическая механика)
«Связи и их классификация. Обобщенные координаты,
Работа силы на возможном перемещении»
В основу классической механики положены понятия пространства, времени, силы и массы. Она оперирует векторными величинами, векторными уравнениями и их проекциями на координатные оси. Аналитическая механика построена на основных принципах, основанных на сравнении движений. Этот принцип изучает мгновенное состояние движения и возможные отклонения от этого состояния, допускаемые связям в данный момент времени. В аналитической механике широко применяются скалярные меры движении материальных объектов и меры их действия (кинетическая энергия, работа сил и т.д.).
Основы изложения аналитической механики составляют некоторые общие принципы, из которых аналитическим путем получаются дифференциальные законы движения на основе которых изучается движение твердых тел и системы материальных точек.