Часть II Кинематика

Кинематика точки (неподвижная система координат).

Скорость и ускорение точки в декартовых координатах

Положение точки М₀ определяем радиус-вектором . Если точка движется относительно системы отсчета Oxyz, то ее координаты будут функциями времени

Скорость и ускорение точки М в некоторый момент времени :

Обозначим через S длину дуги траектории, отсчитываемой с соответствующим знаком от первоначального положения точки на траектории :

Тогда, очевидно,

Годограф. К началу неподвижной системы координат О приложим вектор ОР, равный по величине и направлению скорости движущейся точки. При движении точки М по ее траектории точка Р описывает некоторую кривую, называемую годографом скорости точки М. Очевидно, скорость точки годографа Р равна по определению ускорению точки М.

Скорость и ускорение точки в естественной системе координат

Определим орт , он касателен к траектории. Составим отношение . Вектор d ортогонален к орту , так как

; где k-кривизна траектории, R-радиус кривизны траектории.

Третий орт определим как

Определим скорость и ускорение точки в естественной системе координат :

; т.е.

т.е.

Из последних соотношений получим формулу :

Скорость и ускорение точки в полярных координатах

Положение точки на плоскости известно, если заданы радиус-вектор и полярный угол как функции времени :

Введем единичный вектор , направленный по радиус-вектору от полюса О к точке М. Тогда Для скорости получаем :

Для производной по времени от единичного вектора имеем :

После этого для скорости точки в полярных координатах получаем :

Таким образом радиальная и трансверсальная составляющие вектора скорости имеют вид :

Для ускорения легко получить :

Скорость и ускорение точки в цилиндрических координатах

Положение точки М в пространстве определяют заданием трех ее цилиндрических координат как функций времени:

Разложение векторов скорости и ускорения на составляющие, параллельные осям цилиндрической системы координат Or, Op, Oz выразится в следующей форме:

где - единичные векторы, направленные по осям цилиндрической системы координат. Оси Or и Op расположены в одной плоскости с осями Ox и Oy.

Представим радиус-вектор точки М как сумму двух векторов, т.е.

Скорость точки получим дифференцированием радиус-вектора по времени:

Первое слагаемое в этом выражении вычислялось при выводе скорости точки в полярных координатах. Во втором слагаемом постоянный по модулю и направлению единичный вектор можно вынести за знак производной. В итоге для скорости получается следующее разложение на составляющие осям цилиндрической системы координат:

т.е имеем Так как составляющие скорости, параллельные осям цилиндрической системы координат, взаимно перпендикулярны, то для модуля скорости имеем:

Ускорение точки получим дифференцированием по времени вектора скорости:

Первое слагаемое в этом выражении вычислялось при выводе ускорения в полярных координатах. Во втором слагаемом орт оси z выносим за знак производной. Получим выражение для ускорения точки в составляющих, параллельных осям цилиндрической системы координат:

Лекция 6 (кинематика)

«Сложное движение точки»