Теорема об изменении кинетической энергии

Работа силы. Элементарная работа силы равна скалярному произведению силы на дифференциал радиус-вектора точки приложения силы. Элементарная работа силы равна также скалярному произведению элементарного импульса силы на скорость точки.

Если сила F перпендикулярна приращению радиус-вектора dr, то элементарная работа силы равна нулю.

Полная работа силы

Другое определение: , где t=0 соответствует положению М₀, а момент времени t – положению М.

Последняя формула удобна для вычисления работы силы, когда сила известна как функция времени.

Размерность работы [A]=1Дж=1Нм

Мощность. Мощность силы или работоспособность какого-либо источника силы часто оценивают той работой, которую он может совершить за единицу времени.

Размерность мощности [W]=1Вт=1Дж/с.

Работа силы тяжести.

Px=0, Py=0, Pz= - mg

Для системы точек для каждой точки работа A_i=m_ig(z_0i-z_1i), полная работа

Работа линейной силы упругости.

Линейная сила упругости действует по закону Гука , где r – расстояние от точки равновесия, где сила равна нулю, до рассматриваемой точки М, с – постоянный коэффициент жесткости. Выберем начало координат в точке равновесия, тогда работа

,

где  - деформация (удлинение) пружины.

Работа силы, приложенной к твердому телу.

При поступательном движении При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси (при выводе последнего соотношения мы использовали свойство смешанного векторно-скалярного произведения)

Полная работа

Для свободного тела.

Элементарная работа силы, приложенной к какой-либо точке твердого тела, в общем случае движения складывается из элементарной работы на элементарном поступательном перемещении вместе с какой-либо точкой тела (полюсом) и на элементарном вращательном перемещении вокруг этой точки.

Кинетическая энергия.

Кинетической энергией Т материальной точки называют ½ произведения массы точки на V²: T=½ mv². Размерность кинетической энергии - 1Дж=1Н м

Кинетической энергией системы Т называют сумму кинетических энергий всех точек механической системы, то есть

Теорема Кенига. Разложим движение механической системы на переносное поступательное вместе с центром масс и относительное по отношению к системе координат, движущейся поступательно вместе с центром масс (оси Кенига из параграфа «Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела»).

Запишем связь координат и скоростей точек системы в абсолютной (неподвижной) и подвижной системе отсчета:

Выражение для кинетической энергии системы может быть представлено в следующем виде:

;

В силу того, что начало подвижной системы отсчета совмещено с центром масс системы точек и третье слагаемое в предыдущей формуле обращается в ноль (выражение в круглых скобках в системе отсчета, связанной с центром масс, равно нулю).

В итоге получаем:

Это означает, что кинетическая энергия системы в абсолютном движении складывается из кинетической энергии центра масс, как если бы в нем была сосредоточена вся масса системы, и кинетической энергии системы относительно центра масс.

Примеры:

1. Кинетическая энергия твердого тела при поступательном движении -

2. Кинетическая энергия твердого тела при вращении вокруг неподвижной оси –

3. Кинетическая энергия твердого тела при плоском движении -