Движение точки под действием центральной силы. Законы Кеплера. Секторная скорость, теорема площадей

Секторной скоростью точки или относительно центра О называют векторную величину, определяемую по формуле

-вектор, численно равный заштрихованной на рисунке площади, заметаемой радиус-вектором движущейся точки за время t, направление вектора берется перпендикулярно плоскости движения по правилу правого винта. Секторная скорость перпендикулярна плоскости движения и приложена в точке, относительно которой она вычисляется.

Тогда ,

то есть

Направление вектора также соответствует правилу векторного произведения, так что

Согласно этому теорему об изменении кинетического момента точки можно записать в виде:

Центральной называют силу, действующую на точку, линия действия которой при движении точки все время проходит через некоторую неподвижную точку – центр силы. Центр силы может быть как притягивающим, так и отталкивающим. Для центральной силы ее момент относительно ее центра всегда равен нулю и

В проекциях на декартовы оси координат имеем:

здесь С₁,С₂,С₃ – константы.

Умножая первое соотношение на x, второе – на y, третье – на z и складывая, получим:

С₁x+С₂y+С₃z=0;

то есть координаты движущейся точки x,y,z удовлетворяют уравнению плоскости, проходящей через начало координат О.

Траектория точки, движущейся под действием центральной силы, является плоской кривой, лежащей в неподвижной плоскости, проходящей через центр силы.

Так как , то и

или .

Эта формула выражает интеграл площадей: при движении точки под действием центральной силы секторная скорость является постоянной величиной и, следовательно, заметаемая радиус-вектором площадь пропорциональна времени.

Сравним это со вторым законом Кеплера: «Секторная скорость каждой планеты относительно Солнца постоянна».

Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела

Рассмотрим систему отсчета S’, связанную с центром масс материальной системы, оси (x’y’z’) этой системы параллельны осям системы S (Oxyz). Система отсчета S’ называется системой отсчета Кенига. Для любой точки материальной системы справедливо соотношение

Для поступательного движения системы точек имеем для скоростей точек : , при этом ( , т.к. система S’ не вращается и всегда движется поступательно).

Составим выражение для кинетического момента системы точек и подставим в него выражение для :

По определению положения центра масс в системе S’ и последних два слагаемых обращаются в ноль (предпоследнее обращается в ноль в силу ).

Окончательно , то есть кинетический момент абсолютного движения системы относительно неподвижной точки О равен векторной сумме кинетического момента центра масс относительно этой же точки, как если бы в центре масс была сосредоточена вся масса системы, и кинетического момента системы относительно центра масс для относительного движения системы по отношению к подвижной системе координат S’, движущейся поступательно вместе с центром масс.

Теорема об изменении кинетического момента: .

Подставляя сюда ранее полученные выражения для и , после преобразований получим:

Перенося из правой части в левую первое слагаемое и учитывая, что имеем

Выражение в круглых скобках равно нулю на основании теоремы о движении центра масс. Тогда

Это теорема об изменении кинетического момента системы относительно центра масс для относительного движения системы по отношению к системе, движущейся поступательно с центром масс, она формулируется также, как если бы центр масс был неподвижной точкой.

Используя теорему о движении центра масс и изменении кинетического момента системы относительно центра масс для относительного движения системы по отношению к системе S’, движущейся поступательно вместе с центром масс, получим три дифференциальных уравнения плоского движения твердого тела:

Первые два уравнения являются дифференциальными уравнениями движения центра масс в плоскости Oxy, третье уравнение – дифференциальное уравнение вращения тела относительно центра масс.

Лекция 14 (динамика)

«Теорема об изменении кинетической энергии, закон сохранения механической энергии»