Теорема Штейнера
|
Проведем через центр масс материальной системы с координатами a,b,c оси x’,y’,z’ параллельно осям x,y,z.
Тогда для любой точки системы xi=xi’+a, yi=yi’+b и момент инеции системы относительно оси z равен
|
Второе
и третье слагаемое равны нулю в силу
того, что в системе отсчета, связанной
с центром масс,
,
а в четвертом слагаемом a2+b2=d2
(d
– расстояние между осями z
и z’).
Первое слагаемое есть момент инерции
системы относительно оси z’.
Окончательно имеем:
,
то есть момент инерции относительно какой-либо оси z равен моменту инерции относительно параллельной и проходящей через центр масс оси z’ плюс Md2, где d – расстояние между осями.
Следствие: Среди параллельных осей та проходит через центр масс, для которой момент инерции имеет наименьшее значение.
Аналогичное утверждение справедливо для плоскостей (моментов ).
Пример 2.
|
Рассмотрим однородный цилиндр массы M, радиуса R и высотой, равной 1. Записав
момент инерции цилиндрического слоя
радиуса r
и толщиной dr
относительно оси z0
и проинтегрировав от 0 до R
получим:
|
по
теореме Штейнера момент инерции цилиндра
относительно оси z’
равен
Пример 3.
|
Поместим начало оси x, направленной влево, в правом конце стержня массы M и длины l. Записав момент инерции произвольного элемента dx, находящегося на расстоянии x от оси z’ (лежит в плоскости рисунка) и проинтегрировав по длине стержня получим: |
по
теореме Штейнера момент инерции цилиндра
относительно оси z0
равен
Пример 4. Определим момент инерции однородного эллипсоида с полуосями a,b,c относительно оси x, проходящей через центр эллипсоида. Эту задачу сведем к решенной ранее в этом параграфе задаче о моментах инерции однородного шара, используя тот факт, что преобразование x=ax’,
y=by’,
z=cz’
преобразует эллипсоид
в шар единичного радиуса.
Эллипсоид инерции
|
Рассмотрим систему точек mi с координатами xi,yi,zi. Возьмем луч, проходящий через точку О и имеющий направляющие косинусы , , . i – расстояние i-ой точки до луча:
или
|
Отсюда момент инерции J материальной системы относительно луча (,,) равен:
(*)
, где
A,B,C обозначают моменты инерции системы относительно осей координат, D,E и F – произведения инерции или центробежные моменты инерции относительно тех же осей.
На
луче строим точку Р по формуле
,
ее координатами будут величины
Уравнение геометрического места точек Р отсюда в силу (*) будет
Если материальная система представляет собой объемное тело, то поверхность этого геометрического места точек представляет собой эллипсоид. Этот эллипсоид называется эллипсоидом инерции системы, построенным относительно точки О. Эллипсоид инерции рассматриваемой системы изменяется при изменении точки, относительно которой он строился. Центральным эллипсоидом инерции называется эллипсоид инерции, построенный относительно центра масс рассматриваемой материальной системы или тела. Главные оси эллипсоида инерции называются главными осями инерции тела относительно точки О.
Замечание. Если D=0 и E=0, то ось z является главной осью эллипсоида инерции.
Не всякий эллипсоид может являться эллипсоидом инерции, ибо для эллипсоида инерции должно выполняться условие: A+B>C; B+C>A; C+A>B.