Механическая система. Силы внешние и внутренние Механической системой называется любая совокупность материальных точек.

Внешними силами материальной системы называются силы, с которыми действуют на точки системы тела и точки, не входящие в рассматриваемую систему, будем их обозначать .

Внутренними силами материальной системы называют силы взаимодействия между точками рассматриваемой системы, мы их будем обозначать . Простейшие свойства внутренних сил системы

Внутренние и внешние силы могут включать в себя как активные силы, так и реакции связей.

Пусть система состоит из n точек. Тогда по третьему закону Ньютона, например для точек 1 и 2, внутренние силы взаимодействия этих точек равны по величине и противоположны по направлению:

Равнодействующая внутренних сил состоит из векторной суммы сил действия и противодействия, которая равна нулю: .

Если рассмотреть сумму моментов сил и относительно некоторой произвольной точки О, то легко видеть, что

т.к. обе силы имеют одинаковые плечи h и противоположные направления векторных моментов. Главный момент внутренних сил относительно точки О состоит из векторной суммы этих моментов внутренних сил:

Дифференциальные уравнения движения системы

Если к каждой точке системы приложить равнодействующую силу внешних сил и равнодействующую силу всех внутренних сил , то для любой к-ой точки системы можно составить дифференциальное уравнение движения в виде второго закона Ньютона:

Систему этих уравнений называют дифференциальными уравнениями движения механической системы в векторной форме. Если спроектировать их на оси координат, то получим 3n скалярных дифференциальных уравнения.

Мы видели, с какими трудностями приходится сталкиваться при интегрировании дифференциального уравнения движения точки, если сила зависит от времени, положения или скорости. Здесь же мы имеем систему уравнений и трудности неизмеримо возрастают. Поэтому особую роль в динамике системы материальных точек играют общие теоремы, позволяющие в отдельных случаях получить информацию о характере движения системы не проводя трудоемкого интегрирования системы дифференциальных уравнений.

Лекция 12 (динамика)

«Геометрические характеристики системы материальных точек.

Общие теоремы динамики системы точек»

Геометрические характеристики системы материальных точек. Моменты инерции. Теорема Штейнера. Эллипсоид инерции.

Рассмотрим точку О, прямую L и плоскость В, а также точки материальной системы (одна из них Ai с массой mi). Расстояния от точки Ai до точки О, прямой L и плоскости В обозначим через ri, i и i соответственно.

Можно составить выражения:

Суммирование распространено по всем точкам материальной системы. Эти выражения называются моментами инерции соответственно относительно плоскости В, прямой L и точки О.

Аналитические выражения моментов инерции относительно основных координатных элементов связаны равенствами:

J_z=_xz+_zy, =_zx+_zy+_xy

(Момент инерции относительно какой-либо оси равен сумме моментов инерции относительно двух ортогональных плоскостей, проходящих через эту ось. Момент инерции относительно точки равен сумме моментов инерции относительно трех ортогональных плоскостей, пересекающихся в этой точке.)

Для сплошных тел суммы перейдут в интегралы:

Пример 1.

Для шара массы m, радиуса R (плотность ) имеем момент инерции шарового слоя текущего радиуса r толщины dr относительно центра: , а для всего шара поскольку