Свободные колебания системы с одной степенью свободы без трения.

В большинстве упругих систем при достаточно малых перемещениях сила упругости линейно зависит от перемещения x. Если начало отсчёта смещения x выбрать так, что при x=0: F=0, то для линейной системы F = cx, где с - коэффициент жесткости системы. Испольхуя основное уравнение динамики учитывая, что при прямолинейном движении ускорение равно второй производной от перемещения, получим дифференциальное уравнение движения системы с одной степенью свободы

.

Вид дифференциального уравнения не меняется при действии на систему постоянных сил (например, сил тяжести), если смещение тела отсчитывать от положения его статического равновесия.

Действительно, уравнение движения тела массой m, находящегося под действием силы тяжести и совершающего свободные колебания, имеет вид

,

где - удлинение пружины от силы тяжести груза.

Следовательно, слагаемые mg и cf_ст взаимно уничтожаются, и уравнение становится однородным и совпадает с уравнением свободных колебаний.

Уравнение движения одномассовой системы, совершающей крутильные свободные колебания, записывается аналогично:

,

где - угол поворота тела; J- момент инерции массы m относительно продольной оси вала; с - крутильная жесткость упругой связи.

Решение полученных дифференциальных уравнений имеет вид

,

где - угловая частота колебаний, или собственная частота; С₁ и С₂- постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.

Обозначая смещение и скорость в начальный момент времени t₀=0 через x₀ и соответственно, после подстановки начальных условий в полученное общее решение находим постоянные интегрирования

, .

Решение уравнения можно записать иначе:

,

где ,

.

Таким образом, движение груза при свободных колебаниях одномассовой системы без трения описывается синусоидальным законом с амплитудой колебаний А, периодом и начальной фазой .

Период колебаний определяется из условия:

,

откуда

.

Число колебаний в единицу времени (техническая частота, измеряемая в герцах):

.

В практическом отношении иногда оказывается удобным связать частоту и период колебаний со статической деформацией f_ст упругой связи, вызванной силой, равной весу груза,

.

При этом справедливы формулы:

; ;

Так как величина f_ст введена формально, то очевидна их справедливость независимо от того, совпадает или не совпадает направление силы тяжести с направлением движения груза.

Для анализа свободных колебаний удобно использовать изображение закона движения системы на фазовой плоскости, или так называемый фазовый портрет. Фазовым портретом движения называется графическое изображение зависимости скорости движения от смещения. Для получения фазового портрета найдем скорость, для чего продифференцируем найденное решение по t:

Уравнение движения и выражение для скорости представляют собой уравнение фазовой траектории в параметрической форме. Исключая параметр , получим

.

Полученное уравнение является уравнением эллипса с полуосями, равными А и . Верхняя полуплоскость соответствует возрастанию смещения, нижняя - убыванию. Размеры эллипса зависят от начальных условий, определяющих амплитуду колебаний А.

Все возможные свободные колебания одномассовой системы изображаются семейством эллипсов, каждый из которых соответствует определённому уровню энергии. Чем больше амплитуда колебаний А, тем больше полная энергия системы. Если значения энергии откладывать по оси , перпендикулярной чертежу, то получится поверхность (параболоид), нижняя точка которой соответствует нулевому энергетическому уровню. Точка, изображающая значения смещения и скорости в данный момент времени (изображающая точка), перемещается по горизонтали этой поверхности.

Если изменить масштаб построения фазовой траектории и откладывать по оси абсцисс х, а по оси ординат - , то фазовая траектория будет представлять собой окружность радиусом А, причём изображающая точка будет равномерно двигаться по этой окружности с угловой скоростью, равной частоте собственных колебаний .

При наличии рассеяния энергии изображающая точка перемещается по спирали, приближаясь к началу координат.

Примеры

Пример 1. К цилиндрической пружине подвешен груз массой m = 2 кг = 2 . Груз может перемещаться только в вертикальном направлении. Определить частоту собственных колебаний груза без учёта и с учётом массы пружины. Средний диаметр пружины D = 6 см; диаметр проволоки пружины d = 0,6 см; число витков n = 15; плотность материала ; модуль сдвига G = .

Решение.

Жесткость пружины:

.

Частота собственных колебаний без учёта массы пружины :

.

Приведенная масса пружины:

Частота собственных колебаний с учётом массы пружины:

.