Проверочная работа № 4 – 0
(с решением)
1. Пользуясь определением, доказать непрерывность функции f(x) = 4x2 -5x + 2 в каждой точке xоÎ R.
2. Найти точки разрыва функции
Определить скачок функции в каждой точке разрыва и построить график.
3. Исследовать функцию f(x)
=
на непрерывность в точке xо
= 1.
4. Найти точки разрыва функции
и определить их характер.
5. Пользуясь определением, вычислить
производную функции
.
6. Найти производные функций: а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
7. Найти производную функции, заданной
неявно:
.
8. Найти
параметрически заданной функции
:
.
9. Найти производную
функции
.
10. Применить формулу Лейбница для
вычисления производной
функции
.
Решение проверочной работы № 4 – 0
1. Пусть Dх - приращение аргумента в точке xоÎ R.
Найдем соответствующее приращение функции:
Применяя теоремы о пределе суммы и
пределе произведения функций, получим:
.
Значит, по определению функция непрерывна
в каждой точке xоÎ
R.
2. Рассмотрим односторонние пределы функции в точках, в которых меняется аналитическое задание функции числитель и знаменатель обращаются в ноль): x = -2 и x = 2.
При x ® -2-0 предел рассматривается слева от точки x = -2, имеем:
При x ® -2+0 предел рассматривается справа от точки x = -2, имеем:
.
Так как односторонние пределы конечны,
но не равны
,
,
то x = -2 является точкой разрыва I рода. Скачок функции в этой точке разрыва равен 2.
Рассмотрим односторонние пределы при x ®2 -0 и x ®2 +0:
,
.
Односторонние пределы конечны и равны, значит существует предел функции в точке x = 2, но функция в этой точке не определена. x = 2 - точка устранимого разрыва.
3. Функция f (x) = не определена в точке xо = 1, нарушено условие существования f (1), значит, функция не является непрерывной в этой точке.
Найдём односторонние пределы функции в этой точке:
,
.
Они конечны, но не равны. Значит, нарушено и второе условие существования предела функции в этой точке. Итак, точка xо = 1 - точка разрыва первого рода.
4. Представим данную функцию в виде:
.
Рассмотрим односторонние пределы функции в особых точках ( в которых числитель и знаменатель обращаются в ноль): x = 1, x = 0, x = -4.
При x ®
1-0
предел рассматривается слева от точки
x = 1, значит x
< 1 и |x -1|
= - (x
-1).
Имеем:
.
При x ®
1+0 предел рассматривается справа от
точки x = 1, значит
x > 1 и |x
-1| = (x
-1).
Имеем:
.
Так как односторонние пределы конечны, но не равны
,
,
то x = 1 является точкой разрыва I рода.
Рассмотрим односторонние пределы при x ® -0 и x ® +0:
.
Предел при x ® +0 можно и не рассматривать, поскольку x = 0 уже является точкой разрыва II рода.
Наконец, при x ®
-4-0
предел рассматривается слева от точки
x = -4
и (x + 4) < 0. Имеем:
,
значит x = -4 является точкой разрыва II рода и второй односторонний предел можно не рассматривать.
Ответ. x = 1 – точка разрыва I рода, x = 0 и x = -4 - точки разрыва II рода.
5. Пусть Dх - приращение аргумента в точке x. Найдем соответствующее приращение функции:
.
Отсюда
находим предел отношения
в точке x при
:
.
Таким образом, по определению
.
6.
а) Требуется найти производную сложной
функции, которую можно представить в
виде
,
где
.
Поэтому
.
Имеем
.
6.
б) Представим данную функцию в виде:
.
Тогда используя свойства логарифмов,
имеем:
.
6.
в) Так как область определения функции
,то
.
при x < 0.
6.
г)
.
7.
Дифференцируя обе части уравнения и
учитывая, что у – есть функция от х
(поэтому
и
),
получим:
,
Отсюда
находим
:
или
.
8.
Производная функции
находится по формуле
, откуда
.
9.
Находим первую производную:
.
Отсюда находим вторую производную:
,
а затем искомую третью
.
10.
Запишем формулу Лейбница для n
= 3:
Полагая
,
,
найдём:
,
,
.
Используя
результат предыдущей задачи
,
,
.
Подставляя
в формулу Лейбница, получим:
.