§2. Непосредственный подсчёт вероятностей.

Определение: Случай называется благоприятствующим событию, если появление этого случая влечёт за собой появление события.

Определение: Вероятностью события А называется число ,

где n - общее число случаев,

m - число случаев, благоприятствующих событию А.

Свойства вероятностей:

1. Вероятность события не может быть отрицательным числом, т.е.

2. Вероятность достоверного события равна I, т.е. Р(u)=1.

3. Вероятность невозможного события равна нулю, т.е. Р(v) = 0.

4. Вероятность события, заключена в промежутке: 1

Пример 1. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал её наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.

Решение: Обозначим событие А - набрана нужная цифра.

Абонент мог набрать любую из 10-ти цифр, поэтому общее число элементарных исходов разно 10, n=10.

Благоприятствует событию А лишь один исход, так как нужная цифра лишь одна, m=1

Пример 2. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях - чётная, причём на грани хотя бы одной из костей появится шестёрка.

Решение: На выпавшей грани 1-ой игральной кости может появиться одно очко, два оч­ка, и т.д. шесть очков.

Аналогично будет при бросании 2-ой игральной кости. Каждый из исходов бросания 1-ой кости может сочетаться с каждым из исходов бросания 2-ой кости. Таким образом, общее число возможных элементарных исходов испы­тания n = 6*6.

Благоприятствующими интересующему нас событию (хотя бы на одной грани появится шестёрка, сумма выпавших очков – чётная) являются следующие пять исходов:

1. 6, 2. 6+2=8.

2. 6,4. 6+4=10.

3. 6, 6. 6+6=12.

4. 2, 6. 2+6=8.

5. 4, 6. 4+6=10.

искомая вероятность:

Задачи для самостоятельного решения.

1. При перевозке ящика, в котором содержались 21 стандартная и

10 нестандартных деталей, утеряна одна деталь, причём неизвестно какая. Наудачу извлечённая (после перевозки) из ящика деталь оказалась стандартная. Найти вероятность того, что была утеряна:

1. стандартная деталь;

2. нестандартная деталь.

2. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях равна семи.

3. В урне 5 белых и 3 чёрных шара. Из урны вынимают наугад одни шар.

Найти вероятность того, что этот шар - белый.

4. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 100. Найти

вероятность того, что выбранное число при деления на 3 даёт в остатке 2.

5. Наудачу выбрано двузначное число, не превосходящее 30-ти. Найти вероятность того, что это число окажется: I) простым, 2) составным, 3) кратным 5-ти.

6. Наудачу выбрала кость домино из полного набора. Найти вероятность

того, что сумма очков на выбранной кости равна 5-ти.

7. В урне 6 белых и 4 синих шаров. Из урны вынимают подряд все находящиеся в ней шары. Найти вероятность того, что последний оставшийся в урне шар будет синим.

8. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма вы­павших очков равна восьми, а разность - четырём.

9. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 30-ти. Найти веро­ятность того, что это число кратно 5-ти.

10.Наудачу выбрано простое число, не превосходящее 20-ти. Найти вероят­ность того, что оно имеет вид: 4х+1, где x = 0,1,2,...

11.Задумано двузначное число, цифры которого различны. Найти вероятность того, что задуманным числом окажется случайно названное двузначное число, цифры которого различны.

12. Брошены две игральные кости. Найти. Вероятность того, что сумма оч­ков, на выпавших гранях равна пяти, а произведение - четырём.

13. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 30-ти. Найти вероятность того, что это число окажется: I) кратным 3-м, 2) простым.

14. Наудачу выбрано простое число, не превосходящее 30-ти. Найти вероят­ность того, что оно имеет вид: 4х+3 , где x = 0,1,2,...

15. Наудачу выбрано двузначное число. Найти вероятность того, что это

число окажется: I) кратным 3-м, 2) кратным 5-ти.

16. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма вы­павших очков, равна восьми, если известно, что их разность равна 4-м.

17. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 20-ти. Найти

вероятность того, что это число окажется делителем 20-ти.

18. Наудачу выбрано простое число, не превосходящее 30-ти. Найти

вероятность того, что оно имеет вид: 6x + 5, где x = 0,1,2,...

19. Найти вероятность того, что в наудачу выбранном двузначном числе цифры одинаковы.

20. Даны отрезки длиной 2,5,6,10. Найти вероятность того, что из науда­чу взятых 3-х отрезков можно построить треугольник.

21. В урне 5 красных и 7 жёлтых шаров. Из этой урны вынимают одна шар и откладывают в сторону. Этот шар оказался красным. После этого из урны берут ещё один шар. Найти вероятность того, что этот шар также красный.

22. Игральная кость бросается один раз. Найти вероятности следующих

со­бытий: А - появление чётного числа очков; \ В - появление не менее 5-ти очков. С - появление не более 5-ти очков.

23. Участники жеребьёвки тянут из ящика жетоны с номерами от I до 100. Найти вероятность того, что номер первого, наудачу извлечённого

же­тона, не содержит цифры 5.

24. Брошены 2 игральные кости, помеченные номерами 1и2. Какова

вероят­ность того, что на первой кости очков будет больше, чем на второй?