3.8. Аффинные пространства
Определение 3.8.1. Аффинное пространство — это множество A элементов произвольной природы, называемых точками, которому сопоставлены:
1) линеал L, называемый присоединенным к A;
2) соответствие, по которому любым двум точкам A, B A отвечает некоторый элемент AB L с началом в A и с концом в B;
При этом выполняются следующие две аксиомы:
10. Для произвольной точки А A и любого вектора u L существует единственная точка B A такая, что АВ = u.
11. Для произвольных трех точек А, В, С имеет место равенство АВ + ВС = АС.
Размерность аффинного пространства A совпадает с размерностью присоединенного с A линеала L и обозначается символом dim(A). Если dim(A) = n, то аффинное пространство называют n‑мерным и используют обозначение A n.
П
Рис. 3.8.1
риведем примеры аффинных пространств.Рассмотрим
трехмерное линейное пространство V 3.
Фиксируем некоторую точку О
и будем рассматривать всевозможные
радиус-векторы с началом в точке О
(рис. 3.8.1). Под точками аффинного
пространства A 3
с присоединенным линеалом V 3,
будем понимать концы соответствующих
радиус-векторов, причем двум точкам А
и В
сопоставляется вектор
.
Заметим, что при такой формализации мы
отождествляем точку А
с радиусом-вектором
.
Любое линейное пространство L можно рассматривать как аффинное пространство. Для этого достаточно векторы из L назвать точками аффинного пространства и любой паре векторов a и b сопоставить вектор ab = b – a L.
3.9. Аффинные системы координат
Аффинная система координат Оe1e2…en в аффинном пространстве A n есть совокупность, состоящая из произвольной точки О, называемой началом координат, и базиса e1, e2,…, en из присоединенного линеала L.
Подчеркнем, что аффинная система координат задается двумя разнородными объектами — точкой О из аффинного пространства и базисом e1, e2,…, en из присоединенного линеала.
Пусть А — произвольная точка аффинного пространства A n. Вместе с началом координат О точка А определяет элемент (радиус-вектор) rA = OA Ln, координаты которого определяются из разложения по базису e1, e2,…, en: OA = x1e1 + x2e2 +…+ xnen.
Аффинными координатами произвольной точки А A n называют координаты соответствующего радиус-вектора rA = OA Ln и обозначают символом А(x1, x2,…, xn).
Ясно, что координаты точки А определяются однозначно в силу единственности разложения вектора по заданному базису.
Произвольный вектор AB Ln можно представить как разность соответствующих радиус-векторов
AB = rB – rA, (3.9.1)
Если вектор AB задан координатами своего начала А(x1, x2,…, xn) и конца В(y1, y2,…, yn) относительно базиса e1, e2,…, en, то его координаты относительно того же базиса определяются из соотношения (3.9.1) как коэффициенты разложения по указанному базису в виде
AB = (y1 – x1)e1 + (y2 – x2)e2 +…+ (yn – xn)en
и обычно используют обозначение AB(y1 – x1, y2 – x2,…,yn – xn).
Прямой в аффинном пространстве A n, проходящей через точку C A n в направлении ненулевого вектора u Ln, называется множество всех точек P A n, для которых CP = u, где (– , ) — вещественное число. Указанный вектор u называется направляющим вектором прямой.
При рассмотрении аффинных систем координат в реальных пространствах: на прямой, плоскости и трехмерном пространстве, базисные векторы соответствующих линеалов V 1, V 2, V 3 приводятся в общее начало (рис. 3.9.1 – 3.9.3).
Рис. 3.9.1 |
Рис. 3.9.2 |
Рис. 3.9.3 |
Прямые
в рассматриваемых пространствах,
определяемые началом координат О
и соответствующими базисными векторами,
называются осями координат (O
,
O
,
O
рис. 3.9.3;
O
,
O
рис. 3.9.2; O
рис. 3.9.1).
В трехмерном аффинном пространстве рассматривают также координатные плоскости, определяемые соответствующими парами координатных осей (O , O , O рис. 3.9.3).
Определение 3.9.1. Тройка базисных векторов , , называется правой (левой), если после приведения их к общему началу по этим векторам можно направить соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки.
З
Рис. 3.9.4.
аметим, что тройка будет правой, если, находясь внутри телесного угла, образованного этими векторами, кратчайший поворот от первого из них ко второму, а затем от второго к третьему осуществляется против хода часовой стрелки (на рис. 3.9.4, например, приведена правая тройка).Очевидно, что при круговой замене ориентация тройки не изменяется, т. е. если , , правая тройка векторов, то , , и , , также будут правыми.
Упорядоченная пара базисных векторов , называется правой (левой), если кратчайший поворот от к происходит против (по) часовой стрелки (на рис. 3.9.2, например, приведена правая пара).
Аффинная система координат называется правой (левой), если ее базис правый (левый). В дальнейшем ради определенности будем рассматривать только правые системы координат.