Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
lection_11_present.docx
Скачиваний:
0
Добавлен:
16.11.2019
Размер:
295.4 Кб
Скачать

3.8. Аффинные пространства

Определение 3.8.1. Аффинное пространство — это множество A элементов произвольной природы, называемых точками, которому сопоставлены:

1) линеал L, называемый присоединенным к A;

2) соответствие, по которому любым двум точкам A, B  A отвечает некоторый элемент AB  L с началом в A и с концом в B;

При этом выполняются следующие две аксиомы:

10. Для произвольной точки А  A и любого вектора u  L существует единственная точка  A такая, что АВ = u.

11. Для произвольных трех точек А, В, С имеет место равенство АВ + ВС = АС.

Размерность аффинного пространства A совпадает с размерностью присоединенного с A линеала L и обозначается символом dim(A). Если dim(A) n, то аффинное пространство называют n‑мерным и используют обозначение A n.

П

Рис. 3.8.1

риведем примеры аффинных пространств.

Рассмотрим трехмерное линейное пространство V 3. Фиксируем некоторую точку О и будем рассматривать всевозможные радиус-векторы с началом в точке О (рис. 3.8.1). Под точками аффинного пространства A 3 с присоединенным линеалом V 3, будем понимать концы соответствующих радиус-векторов, причем двум точкам А и В сопоставляется вектор . Заметим, что при такой формализации мы отождествляем точку А с радиусом-вектором .

Любое линейное пространство L можно рассматривать как аффинное пространство. Для этого достаточно векторы из L назвать точками аффинного пространства и любой паре векторов a и b сопоставить вектор ab b – a  L.

3.9. Аффинные системы координат

Аффинная система координат Оe1e2en в аффинном пространстве A n есть совокупность, состоящая из произвольной точки О, называемой началом координат, и базиса e1, e2,…, en из присоединенного линеала L.

Подчеркнем, что аффинная система координат задается двумя разнородными объектами — точкой О из аффинного пространства и базисом e1, e2,…, en из присоединенного линеала.

Пусть А — произвольная точка аффинного пространства A n. Вместе с началом координат О точка А определяет элемент (радиус-вектор) rA = OA Ln, координаты которого определяются из разложения по базису e1, e2,…, en: OA = x1e1 + x2e2 +…+ xnen.

Аффинными координатами произвольной точки А  A n называют координаты соответствующего радиус-вектора rA = OA  Ln и обозначают символом А(x1, x2,…, xn).

Ясно, что координаты точки А определяются однозначно в силу единственности разложения вектора по заданному базису.

Произвольный вектор AB Ln можно представить как разность соответствующих радиус-векторов

AB = r– rA, (3.9.1)

Если вектор AB задан координатами своего начала А(x1, x2,…, xn) и конца В(y1, y2,…, yn) относительно базиса e1, e2,…, en, то его координаты относительно того же базиса определяются из соотношения (3.9.1) как коэффициенты разложения по указанному базису в виде

AB = (y1 – x1)e1 + (y2 – x2)e2 +…+ (y– xn)en

и обычно используют обозначение AB(y1 – x1y2 – x2,…,y– xn).

Прямой в аффинном пространстве A n, проходящей через точку C  A n в направлении ненулевого вектора u  Ln, называется множество всех точек P  A n, для которых CP u, где   (– , ) — вещественное число. Указанный вектор u называется направляющим вектором прямой.

При рассмотрении аффинных систем координат в реальных пространствах: на прямой, плоскости и трехмерном пространстве, базисные векторы соответствующих линеалов V 1, V 2, V 3 приводятся в общее начало (рис. 3.9.1 – 3.9.3).

Рис. 3.9.1

Рис. 3.9.2

Рис. 3.9.3

Прямые в рассматриваемых пространствах, определяемые началом координат О и соответствующими базисными векторами, называются осями координат (O , O , O рис. 3.9.3; O , O рис. 3.9.2; O рис. 3.9.1).

В трехмерном аффинном пространстве рассматривают также координатные плоскости, определяемые соответствующими парами координатных осей (O , O , O рис. 3.9.3).

Определение 3.9.1. Тройка базисных векторов , , называется правой (левой), если после приведения их к общему началу по этим векторам можно направить соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки.

З

Рис. 3.9.4.

аметим, что тройка будет правой, если, находясь внутри телесного угла, образованного этими векторами, кратчайший поворот от первого из них ко второму, а затем от второго к третьему осуществляется против хода часовой стрелки (на рис. 3.9.4, например, приведена правая тройка).

Очевидно, что при круговой замене ориентация тройки не изменяется, т. е. если , , правая тройка векторов, то , , и , , также будут правыми.

Упорядоченная пара базисных векторов , называется правой (левой), если кратчайший поворот от к происходит против (по) часовой стрелки (на рис. 3.9.2, например, приведена правая пара).

Аффинная система координат называется правой (левой), если ее базис правый (левый). В дальнейшем ради определенности будем рассматривать только правые системы координат.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]