5. Статистика электронов в примесных полупроводниках.

В примесных п/п электроны могут переходить в зону проводимости не только из валентной зоны, но и с донорных уровней, дырки же могут возникать при переходе электронов из валентной зоны на акцепторные уровни.

Получим выражение для концентрации электронов на примесном уровне E_пр (примесь одного сорта):

где N_пр – концентрация примесных атомов с энергией E_пр , g – величина, связанная со степенью вырождения уровня E_пр. Для доноров , а для акцепторов g =2.

5.1.Донорный полупроводник.

Будем рассматривать п/п с малой концентрацией примеси, которые при комнатной температуре являются невырожденными п/п.

Рассмотрим сначала низкие температуры.

Если в п/п введена донорная примесь с малой энергией ионизации E_иd , то при низких температурах число электронов, попавших в зону проводимости с донорных уровней будет значительно превышать число электронов, возбужденных из валентной зоны. В этом случае переходами из валентной зоны можно пренебречь. Тогда число электронов проводимости n будет равно числу свободных мест на донорных уровнях N_d⁺ :

Для невырожденного п/п имеем:

а число свободных мест на донорных уровнях N_d⁺ равно:

Приравняв согласно (2) n и N_d⁺, получим:

Рассмотрим область очень низких температур, когда E_F – E_d >> kT. В этом случае в знаменателе (5) единицей можно пренебречь и тогда (5) перепишется

откуда

При T→0, E_F→(E_c + E_d)/2, т.е. уровень Ферми стремится середине между дном зоны проводимости и E_d. Заметим, что при T→0, N_d⁺→0, как это видно из (4), т.е. доноры не ионизированы.

При повышении температуры от 0К, согласно (6) уровень Ферми сначала поднимается, т.к. знаменатель дроби под логарифмом при низких температурах меньше числителя, а второй член в (6) больше нуля и увеличивается с увеличением T. Однако при дальнейшем повышении температуры, уровень Ферми, достигнув максимума, начинает понижаться и, при некоторой T = T_s, пересекает уровень E_d. Но при T ≈ T_s пользоваться уравнением (6) уже нельзя, т.к. оно было получено при условии E_F – E_d >> kT, или N_d⁺ << N_d , которое теперь не выполняется. Действительно, из (4) следует, что при совпадении уровня Ферми с уровнем E_d имеем N_d⁺ = N_d/3. В этом случае величину E_F следует определять из более общего уравнения (5).

Найдем температуру T_s из условий 1) N_d⁺ = N_d/3 и 2) E_F = E_d :

Отсюда, учитывая, что E_С – E_d = E_ud :

где T_s – температура истощения примеси.

Из этого выражения видно, что чем больше E_ud , тем выше температура истощения примеси T_s. Температура истощения примеси зависит также и от N_d. Это происходит потому что, чем больше N_d , тем больше вероятность захвата (возврата) электронов из зоны проводимости на донорные уровни. Поэтому, чтобы достичь истощения при больших N_d , необходимо поднять температуру.

Обычно температура истощения примеси невелика. Так, для примеси в германии E_ud =0,01 эВ и N_d =10¹⁶ см^-3, T_s =30К.

Теперь получим концентрацию электронов в зоне проводимости при очень низких температурах. Для этого, выражение для E_F (уравн.6) подставим в уравн. (3) ( ):

Прологарифмировав (9), получим:

Зависимость (логарифмическая) первого слагаемого от T гораздо более слабая, чем второго, поэтому зависимость ln n от 1/T в области низких температур примерно линейная с угловым коэффициентом .

Рассмотрим теперь область истощения примеси (T ~ T_S). При небольшом превышении температуры над T_S практически все электроны переходят с донорных уровней в зону проводимости (в этом случае f_пр(E_пр) = 1и N_d⁺ = N_d).

Тогда

Найдем энергию Ферми в этой области температур из условия (11):

Она равна

Число состояний зоны проводимости увеличивается с повышением температуры, и уже при T = T_S , N_c > N_d, поэтому имеет отрицательный знак и увеличивается по модулю с повышением температуры, т.е. уровень Ферми понижается.

Рассмотрим область собственной проводимости. При высоких температурах в концентрацию электронов будут вносить заметный вклад электроны, возбуждаемые из валентной зоны. Концентрация электронов снова начнет расти (область 3 на рисунке) и в конце концов станет практически равной концентрации n_i в собственном полупроводнике. За температуру перехода T_i к собственной проводимости принимают температуру, при которой n_i совпадает с концентрацией электронов в донорном п/п в области истощения N_d:

откуда, согласно , получим:

Отсюда

Согласно (15), чем шире запрещенная зона (E_g) и чем больше N_d, тем выше T_i. При N_d=10¹⁶ см^-3 в германии T_i =480K. Значение T_i определяет предельную температуру работы большинства полупроводниковых приборов.