- •Лекция 8.
- •§ 43. Векторное произведение
- •§ 44. Смешанное произведение трех векторов
- •§ 45. Координаты вектора векторного произведения
- •§ 46. Свойства векторного произведения
- •§ 47. Двойное векторное произведение
- •§ 48. Площадь параллелограмма и треугольника в пространстве.
- •§ 50. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении
- •§ 51. Общее уравнение прямой
- •§ 52. Направляющий вектор прямой, заданной общим уравнением.
- •§ 53. Частные случаи расположения прямой относительно системы координат
- •§ 54. Параметрические уравнения прямой
- •§ 55. Уравнение прямой, проходящей через 2 точки
- •§ 56. Уравнение прямой в отрезках
- •§ 57. Угловой коэффициент прямой
- •§ 58. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Лекция 8.
§ 43. Векторное произведение
Определение. Если векторы и , лежащие в ориентированном пространстве, неколлинеарны, то векторным произведением вектора на вектор называется вектор, определяемый следующими условиями.
Модуль векторного произведения равен произведению модулей перемножаемых векторов на синус угла между ними:
. .
Векторное произведение перпендикулярно и вектору и вектору :
Упорядоченная тройка векторов
, ,
имеет положительную ориентацию.
Если векторы и коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю по определению: если , то .
Замечание. Если ориентировать пространство правой тройкой, то направление векторного произведения (в случае, если и неколлинеарны) определяется по следующему правилу: если большой палец правой руки направить по вектору , указательный по вектору , а средний расположить перпендикулярно большому и указательному, то средний палец укажет на направление вектора .
Или если смотреть на плоскость векторов и , отложенных от одной точки со стороны стрелки векторного произведения , отложенного от той же точки, то кратчайший поворот от вектора к вектору кажется происходящим против часовой стрелки (см. рис).
Если пространство ориентировано левой тройкой, то направление векторного произведения определяется аналогично по правилу трех пальцев левой руки.
Пусть векторы и неколлинеарны. Отложим их от одной и той же точки О:
; .
На основании данного определения векторного произведения модуль векторного произведения равен площади параллелограмма со сторонами и ; иногда говорят так: модуль векторного произведения двух неколлинеарных векторов равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах, отложенных от одно точки.
§ 44. Смешанное произведение трех векторов
Смешанным произведением трех векторов лежащих в ориентированном пространстве, называется скалярное произведение вектора на вектор , т.е. .
Теорема. Смешанное произведение равно объему ориентированного параллелепипеда, построенного на векторах .
Доказательство. В § 38 для скалярного произведения двух векторов была доказана формула:
.
Пусть векторы некомпланарны, тогда на основании леммы § 41 имеем
причем проектирование ведется на ось, имеющую направление вектора .
В случае, если векторы компланарны, равенство
очевидно (0=0).
Следствие.
Доказательство.
§ 45. Координаты вектора векторного произведения
Пусть - ортонормированный базис. Пусть в этом базисе
.
Координаты вектора в ортонормированном базисе можно рассматривать как скалярные произведения этого вектора на векторы базиса. Пользуясь формулой для объема ориентированного параллелепипеда в координатах и замечая, что
.
Находим координаты векторного произведения
,
,
.
Итак, если в ортонормированном базисе
, то
.
§ 46. Свойства векторного произведения
Векторное произведение двух векторов обладает следующими свойствами:
1) ,
2) ,
3)
Они вытекают из выражений для векторного произведения в координатах. Докажем, например, последнее свойство. Пусть в ортонормированном базисе
.
Тогда
и, следовательно:
ч.т.д.