- •3. Концентрация электронов и дырок в полупроводнике.
- •3.1. Концентрация электронов в п/п.
- •3.2. Концентрация дырок в п/п.
- •4. Положение уровня Ферми и концентрация свободных носителей заряда в собственных полупроводниках.
- •5. Статистика электронов в примесных полупроводниках.
- •5.1.Донорный полупроводник.
- •5.2. Акцепторный полупроводник.
- •5.3. Закон действующих масс.
- •5.4. Сильно легированные полупроводники.
- •5.5. Компенсированные полупроводники.
3. Концентрация электронов и дырок в полупроводнике.
3.1. Концентрация электронов в п/п.
Концентрация электронов равна:
Интегрирование производится по зоне проводимости. В п/п интегрирование можно распространить до ∞, т.к. f(E) при E > EF ,быстро спадает с ростом энергии, а g(E), хоть и растет, но медленно (по степенному закону).
Тогда концентрация электронов будет равна:
Если уровень Ферми расположен глубоко в запрещенной зоне, то (E-EF) >> kT и электронный газ зоны проводимости является невырожденным (f(E) = C·exp( -E/kT)). В этом случае полупроводник называется невырожденным.
Полная функция распределения электронов по энергиям невырожденного газа примет вид:
Из (13) следует, что распределение частиц по энергиям ~ . Оно зависит от температуры газа. Для невырожденного газа B(E) достигает максимума при E = kT/2 и быстро спадает при E > kT.
Проинтегрируем и получим (для невырожденного п/п):
где NC – эффективное число (плотность) состояний, приведенных ко дну зоны проводимости или, иначе, число состояний зоны проводимости.
Для невырожденного полупроводника величина – (Ec – EF) отрицательная, и чем меньше уровень Ферми (т.е. чем меньше EF), тем меньше электронов в зоне проводимости.
3.2. Концентрация дырок в п/п.
Вероятность того, что состояние с энергией E не занято электроном, равна:
Газ дырок валентной зоны будет невырожденным, если (EF – E) >> kT. Тогда
Из (18) видно, что вероятность заполнения (заселенность) состояний валентной зоны дырками убывает экспоненциально вглубь валентной зоны. Полное число дырок (концентрация) p получим, проинтегрировав fp(E)g(E)dE по энергии:
где – число состояний валентной зоны.
Если условие невырожденности того или иного газа не выполняется, то вычисление интегралов такого типа (12) и (19) для концентрации частиц проводят численным методом.
4. Положение уровня Ферми и концентрация свободных носителей заряда в собственных полупроводниках.
Положение уровня Ферми в собственных п/п можно найти из условия равенства количества электронов в зоне проводимости ni количеству дырок в валентной зоне pi:
где индекс i – обозначает принадлежность к собственному п/п.
Приравняв n (выр.16) к p (выр.19), и используя EFi – EV = Eg – (Ec – EFi), получим:
Отсюда
или
За счет того, что mp ≠ mn , уровень Ферми несколько сдвинут относительно середины запрещенной зоны. Если бы mp = mn , то уровень Ферми был бы расположен точно посередине запрещенной зоны. Как видно из (21), при T=0 он расположен посередине запрещенной зоны. При T > 0 и mp > mn уровень Ферми сдвигается вверх. Поскольку, как правило, разница между mp и mn небольшая, то этим сдвигом часто пренебрегают. Тогда Ec – EFi = EFi – EV = Eg/2.
Получим концентрацию свободных носителей в собственном п/п:
Отсюда видно, что концентрация носителей заряда в собственном п/п определяется шириной запрещенной зоны (Eg) и температурой. Причем зависимость ni (или pi) от температуры очень резкая. Так, для Eg = 0,66эВ, увеличение температуры от 100 до 600К приводит к повышению ni на 17 порядков.
Прологарифмируем (22):
Так как зависит от температуры гораздо слабее, чем 1/T, то график зависимотсти ln(ni) от 1/T представляет собой приблизительно прямую линию с угловым коэффициентом – Eg/2k.