4.7 Деревья

Деревом (свободным) называется связный граф, не содержащий циклов. Произвольный граф, не содержащий циклов, называется ациклическим или лесом. Компонентами связности леса являются деревья. Дерево является частным случаем леса с единственной компонентой связности.

Примечание: прилагательное “свободное” подчеркивает отличие деревьев от других, родственных деревьям, объектов: ориентированных деревьев, упорядоченных деревьев и т.д.

В деревьях между количеством вершин и ребер справедливо следующее соотношение:

| X | = | U | + 1

где | X | - мощность множества вершин x_n,

| U | - мощность множества ребер u_m.

Т.е. у любого дерева число вершин на единицу больше числа его ребер.

Ориентированным деревом (или ордеревом, или корневым деревом) называется орграф со следующими свойствами:

• существует единственный узел, полустепень захода которого равна 0 (количество дуг, входящих в данную вершину). Он называется корнем ордерева;

• полустепень захода всех остальных узлов равна 1;

• каждый узел достижим из корня.

Ордерево обладает следующими свойствами:

1. m = n – 1;

2. если в ордереве отменить ориентацию ребер, то получится свободное дерево;

3. в ордереве нет контуров (циклов);

4. для каждого узла существует единственный путь, ведущий в этот узел из корня;

5. подграф, определяемый множеством узлов, достижимых из узла v, является ордеревом с корнем v (это ордерево называется поддеревом узла v);

6. если в свободном дереве любую вершину назначить корнем, то получится ордерево.

Примечание: Каждое свободное дерево определяет не более n ориентированнных деревьев. Таким образом, общее число различных ордеревьев с n узлами не более чем в n раз превосходит общее число различных свободных деревьев с n вершинами.

Концевая вершина ордерева называется листом. Путь от корня в лист называется ветвью. Длина наибольшей ветви ордерева называется высотой. Уровень узла ордерева – это расстояние от корня до узла. Сам корень имеет уровень 0. Узлы одного уровня образуют ярус дерева.

Примечание: Наряду с “растительной” применяется еще и “генеалогическая” терминология. Узлы, достижимые из узла u, называются потомками узла u (потомки образуют поддерево). Если в дереве существует дуга (u, v), то узел u называется отцом (или родителем) узла v, а узел v называется сыном узла u. Сыновья одного узла называются братьями.

Бинарное дерево – это конечное множество узлов, которое либо пусто, либо состоит из корня и двух непересекающихся бинарных деревьев – левого и правого. Бинарное дерево не является упорядоченным ордеревом.

(Бинарное) дерево называется подровненным деревом, или АВЛ – деревом (Г.М.Адельсон-Вельский и Е.М.Ландис, 1962), или сбалансированным деревом, если для любого узла высота левого и правого поддеревьев отличается не более чем на 1.

4.7.1 Построение экономического дерева

Граф называется подграфом графа , когда выполняется условие:

.

Остовным подграфом графа является подграф, содержащий все вершины данного графа.

Остовный подграф, являющийся деревом, называется остовом. Т.е. на каждой области связности графа графом порождается дерево.

Несвязный граф не имеет остова. Связный граф может иметь много остовов.

Задача:

Во взвешенном связном графе требуется найти остов минимального веса. (SST - Shortest Skeleton Tree - стандартное обозначение для кратчайшего остова).

Эта задача может возникнуть, например, при проектировании линий электропередач или сети дорог, когда требуется заданные центры соединить некоторой системой каналов связи так, чтобы любые два центра были связаны либо непосредственно соединяющим их каналом, либо че­рез другие центры и каналы, и чтобы общая длина (стоимость) каналов связи была минимальной. В этой ситуации заданные центры можно считать верши­нами полного графа с весами ребер, равными длинам (сто­имости) соединяющих эти центры каналов. Тогда иско­мая сеть будет кратчайшим остовным подграфом полного графа. Очевидно, что этот кратчайший остовный подграф должен быть деревом.

Поскольку полный граф содержит различных остовных деревьев, то решение этой задачи “слепым” перебором вариантов потребовало бы чрезвычайно больших вычислений даже при относитель­но малых п. Однако для ее решения имеются эффектив­ные алгоритмы. Примером таких алгоритмов являются алгоритмы Дж. Краскала (1956 г.) и Р. Прима (1957 г.), примени­мые к произвольному связному графу.