6.4. Основные формы задачи лп
Задача минимизации ЛП, для которой все ограничения являются равенствами с неотрицательными ресурсами и смысловыми ограничениями, называется канонической задачей.
Каноническая задача имеет вид
,
,
(
и
).
Любую задачу ЛП можно свести к канонической форме, если использовать следующие приемы:
1) 
,
т.е. свести задачу максимизации к задаче
минимизации;
2) за счет изменения знака или представления переменной разностью двух новых неотрицательных переменных можно добиться выполнения смысловых ограничений.
если
,
то
,
а если знак переменной
неизвестен (например, может меняться!),
то
,
где
,
;
3) за счет изменения знака в обеих частях ограничений можно получить все ресурсы ;
4) за счет прибавления или вычитания в левой части неравенства неотрицательных дополнительных (балансирующих) переменных можно сделать все ограничения равенствами.
Пример 17. Привести к канонической форме задачу ЛП
,
Решение.
Имеем
;
где
,
и
– дополнительные (балансирующие)
переменные и коэффициенты целевой
функции
= (3,
1, –1, 1, 0, 0, 0),
.
Матрица ограничений
состоит из столбцов коэффициентов
ограничений при соответствующих
переменных
,
,
,
,
,
,
;
вектор ресурсов
.
Канонические
задачи ЛП удобно записывать в виде
расширенной матрицы, если представить
целевую функцию равенством, аналогичным
равенствам ограничений:
и поместить это равенство в дополнительную
строку. Таким образом, расширенная
матрица канонической задачи ЛП
,
,
имеет вид
.
В частности, для примера 17 имеем расширенную матрицу
.
Рассмотрим каноническую задачу
ЛП в матричном виде. Пусть в матрице
ограничений А имеется максимальное
число различных столбцов, состоящих из
одной единицы и нулей (правильные или
базисные столбцы). Такие правильные
столбцы линейно независимы и поэтому
их число
.
Если элементарными преобразованиями,
например методом Гаусса, получить нули
под этими правильными столбцами матрицы А
и в дополнительной строке расширенной
матрицы, т.е. исключить соответствующие
переменные из целевой функции (получить
правильные столбцы в расширенной
матрице), то полученная форма задачи ЛП
является правильной или базисной. Таким
образом, расширенная матрица правильной
задачи, с точностью до перестановки
столбцов, имеет вид
,
где
,
т.е.
и
.
Переменные, соответствующие правильным
столбцам, называются базисными (
),
а остальные переменные – свободными
(
).
В правильной задаче базисные переменные
выражаются через свободные
,
(2)
и в целевую функцию входят
только свободные переменные. В правильной
задаче ЛП легко выписать начальный
допустимый план, если взять свободные
переменные равными нулю:
.
Тогда по (2)
,
,
…,
.
Базисные переменные
равны правым частям (ресурсам), стоящим
напротив единицы в соответствующем
правильном столбце. Таким образом,
начальный допустимый план
.
При этом значение
целевой функции
.
Следствие 1. В правильной задаче ЛП ограничения всегда совместны.
Следствие 2. Так
как нулевые значения свободных переменных
вектора
являются крайними, то геометрически
начальный допустимый план соответствует
некоторой крайней точке симплекса
(некоторой его вершине).