5. Кольца многочленов и формальных степенных рядов
Канонический многочлен или полином f(x) над кольцом R от одной переменной x - это выражение вида:
f(x)=a0+a1x+…+anxn,
где x - переменная, либо формальная, либо принимающая значения в кольце R, содержащем кольцо R; a0,a1,…,anR и элемент an0, т.е. an отличен от нуля кольца R. Элементы a0,a1,…,an называются коэффициентами многочлена f(x), в частности, an – старшим коэффициентом f(x), a0 – свободным членом многочлена f(x). Натуральное число n называется степенью многочлена f(x) и обозначается degf(x).
Многочлен xk называется одночленом или мономом степени k0, и ak называется коэффициентом при мономе xk в многочлене f(x).
Множество многочленов над кольцом R от одной переменной x (обозначим его R[x]) образует кольцо относительно следующих операций сложения и умножения. Если g(x)=b0+b1x+b2x2+…+bmxm, mn, то канонический вид суммы многочленов есть
f(x)+g(x)=(a0+b0)+(a1+b1)x+(a2+b2)x2+…+(an+bп)xn,
где bi=0 для i>m, и канонический вид произведения многочленов есть
f(x)g(x)=с0+с1x+с2x2+…+сm+пxm+n,
где сi = для всех i=0,1,…,m+n. В частности, для aR
af(x)=aa0+aa1x+…+aanxn.
Отсюда выполнены свойства:
deg(f(x)+g(x))max{degf(x),degg(x)}, (1)
deg(f(x)g(x))=degf(x)+degg(x). (2)
Нулем кольца R[x] является так называемый нулевой многочлен, у которого все коэффициенты – нули кольца R. Кольцо R[x] коммутативное кольцо R коммутативное. Кольцо R[x] имеет единицу e(x) кольцо R имеет единицу e, при этом e(x) есть многочлен, у которого свободный член равен e, а остальные коэффициенты равны нулю кольца R.
Положим для i=1,…,k. Тогда канонический действительный полином или многочлен f(x1,…,xk) над кольцом R от переменных x1,…,xk – это выражение вида:
f(x1,…,xk)= ,
где элементы кольца R - действительные числа, называемые коэффициентами многочлена f(x1,…,xk), и только конечное число коэффициентов отлично от нуля кольца R, в частности, a0…0 – свободный член многочлена f(x1,…,xk). Многочлен называется одночленом или мономом степени r=i1+…+ik0, при этом называется коэффициентом при мономе в многочлене f(x1,…,xk).
Степенью многочлена f(x1,…,xk) (обозначается degf(x1,…,xk)) называется максимальная из степеней его мономов с ненулевыми коэффициентами. Данное определение корректно в силу конечного числа слагаемых в формуле.
Множество многочленов над кольцом R от переменных x1,…,xk (обозначим его R[x1,…,xk]) образует кольцо относительно операций сложения и умножения.
Если g(x1,…,xk)= , то канонический вид суммы многочленов есть
f(x1,…,xk)+g(x1,…,xk)= .
Канонический вид произведения многочленов можно вычислить так:
умножить с соответствующими коэффициентами каждый моном многочлена f(x1,…,xk) на каждый моном многочлена g(x1,…,xk), где
= ;
записать сумму всех получившихся мономов с коэффициентами и привести подобные мономы (т.е. сумму мономов вида a +b +… записать как (a+b+…) .
Степень суммы и произведения полиномов определена формулами (1.1) и (1.2).
Многочленом будем считать либо канонический многочлен, либо сумму и произведение многочленов, в частности, канонических. Любой многочлен можно привести к каноническому виду. Действительными многочленами называют многочлены над полем действительных чисел.