- •Элементы дискретной математики Лекция № 1. Множества, алгебры, функции
- •1.1. Понятие множества и функции
- •1.2. Операции над множествами
- •1.3. Определяющие свойства дискретных функций
- •1.4. Преобразования и подстановки
- •Лекция № 2. Схемы и методы комбинаторики
- •2.1. Основные правила перечисления
- •2.2. Схемы выборок, биномиальные коэффициенты
- •Покрытия и разбиения множеств, характеристическая функция
- •2.4. Урновые схемы
Элементы дискретной математики Лекция № 1. Множества, алгебры, функции
1.1. Понятие множества и функции
Понятие множества является фундаментальным в математике и определяется, как правило, через равносильные понятия такие, как совокупность, семейство, класс, алфавит и др. Например: множество есть совокупность объединенных по некоторым признакам различных объектов, называемых элементами множества. Множество не содержит двух одинаковых элементов, мультимножество может содержать каждый элемент x в количестве mx1, при этом говорят, что mx – кратность элемента x в мультимножестве.
Если x – элемент множества (мультимножества) X, то говорят, что x принадлежит X, записывается: xX. В противном случае записывается: xX или x X.
Два множества X и Y равны (или не равны), запись - X=Y (XY), если состоят из одних и тех же элементов (найдется элемент одного множества, не являющийся элементом другого множества). Два мультимножества X и Y равны, если состоят из одинаковых элементов, кратности которых совпадают.
Множество, состоящее из конечного (бесконечного) числа элементов, называют конечным (бесконечным). Мультимножество конечно, если оно состоит из конечного числа элементов и кратность каждого элемента конечна.
Для описания конечного множества X, состоящего из n элементов x1,…,xn, часто используют запись: X={x1,…,xn}, порядок следования элементов несущественен.
Число n элементов конечного множества X называют мощностью или порядком множества и обозначают через X. Множество мощности n часто называют n-множеством. Для описания конечного мультимножества X, состоящего из элементов x1,…,xn кратности m(1),…, m(n), символически запишем:
X={x1[m(1)],…,xn[m(n)]},
Бесконечное множество X, элементы которого можно занумеровать (то есть между множеством X и натуральным рядом существует взаимно однозначное соответствие), называется счётным. Остальные бесконечные множества называются несчётными.
Кроме перечисления элементов конечного множества, для задания множества (в том числе, и бесконечного) применяют описательный способ и рекурсивный способ. Например, если N – множество всех натуральных чисел, то множество M четных натуральных чисел можно описать так: M={iN: i делится на 2 без остатка}, или
M={2i: iN},
или M задаётся рекурсивным способом:
M={iN: 2M, и если iM, то i+2M}.
Если каждый элемент множества Y является элементом множества X, то Y называется подмножеством множества X, обозначается YX. При этом говорят, что множество X содержит (включает) множество Y или множество Y содержится во множестве X (включается во множество X). В соответствии с определением YX. Если при этом YX, то Y называется собственным подмножеством X (обозначается YX), при этом Y<X.
Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается через . Считается, что является подмножеством любого множества и =0.
Однозначным отображением f (далее – отображением) множества X в множество Y или функцией f (обозначается f:XY) называется соответствие, определяющее для каждого элемента xX единственный элемент yY. При этом записывается: f(x)=y. Множество X называется областью определения функции f, множество Y - областью значений функции f. Если xX, yY и f(x)=y, то элемент y называется образом элемента x относительно функции f, а элемент x называется прообразом элемента y относительно функции f.
Для подмножества Y множества X обозначим: f(Y)={f(x):xY} - образ множества Y относительно f. Полным прообразом элемента y относительно f называют множество всех прообразов элемента y (обозначается f{-1}(y)).
Если X,Y - конечные множества, то функцию f:XY можно задать таблицей, под которой понимается множество пар {(x,f(x)):xX}, упорядоченных некоторым образом. Пару (x,f(x)) назовем элементом таблицы функции f.
Функции f,:XY равны, если совпадают их области определения, области значений и таблицы, то есть f(x)=(x) для любого xX. Функция :XY называется ограничением (или подфункцией) функции f на множестве X, где XX, если f(x)=(x) для любого xX. Функции f и равны равны ограничения этих функций на любом подмножестве множества X.
Функция f:XY называется взаимно однозначным соответствием или биекцией, если каждому элементу yY соответствует единственный элемент xX такой, что f(x)=y; при этом записывается: f:XY.
Биекция f является обратимой функцией, то есть имеется функция :YX со свойством:
f((x))=(f(x))=x
для любого xX. Такая функция называется обратной к функции f и обозначается f-1. Понятия биекции и обратимой функции тождественны.
Функция f:XX называется преобразованием множества X. Преобразование е:XX называют тождественным, если е(x)=x для любого xX.