График этой зависимости (рис. 7.1) существенно отличается от прямой.
Таблица 7.1
№ класса |
X s |
Y s |
Виды формулы |
Способ приведения к виду Y=A0 +A1X |
Связь коэффициентов |
I |
|
|
y=axb |
{lg x, lg y} |
A0= lg a, A1=b |
II |
|
|
y=aebx |
{x, lg y} |
A0=lg a, A1= b∙ lg e |
III |
|
|
y=a lg x +b |
{lg x, y} |
A0= b, A1= a |
IV |
|
|
y=a+ |
{ |
A0= a, A1=b |
V |
|
|
y= |
{x,
|
A0= b, A1= a |
VI |
|
|
y= |
{ , } |
A0= a, A1=b |
,
y}
}
Р
ис.
7.1 Эмпирическая нелинейная зависимость
Для выбора вида сглаживающей функции используем аналитические критерии из таблицы 7.1. Результаты расчетов приведены в табл. 7.2. Из неё видно, что разность наименьшая для двух классов: I и V.
Построение
графиков исходной зависимости в различных
системах координат, указанных в табл.
7.1 показывает, что только в плоскостях
}
(рис. 7.2) и { x, 1/y}
(рис. 7.3) графики мало отличаются от
прямых.
Это означает, что исходную зависимость целесообразно приближать или степенной функцией или гиперболой класса V. Видно, что метод линеаризации приводит к тем же классам функций, что и аналитические критерии.
Таблица 7.2
Вычисления по аналитическим критериям
Номер класса |
|
|
|
| |
Вывод |
I |
6,7 |
9,4 |
10,2 |
0,8 |
подходит |
II |
20,8 |
9,4 |
5,0 |
4,4 |
не подходит |
III |
6,7 |
14,2 |
10,2 |
4,0 |
- " - |
IV |
2,1 |
14,2 |
19,8 |
5,6 |
- " - |
V |
20,8 |
6,1 |
5,0 |
1,1 |
подходит |
VI |
2,1 |
6,1 |
19,8 |
13,7 |
не подходит |
|Вычислим теперь коэффициенты а и b для сглаживающих функций в каждом из выбранных классов. Для этого вначале вычислим коэффициенты А0 и А1 зависимости У= А0+ А1Х в новых системах координат. Вычисления проведены МНК (табл. 7.3).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 7.2 Эмпирическая и линейная зависимость |
|||||||||
в линериазованных координатах (класс 1) |
|||||||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 7.3 Эмпирическая и линейная зависимость в линеаризованных |
|||||||||
координатах (класс V) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 7.3
Вычисления МНК для класса I
|
|
|
|
|
|
1,1 |
25,0 |
0,041 |
1,398 |
0,0017 |
0,058 |
1,4 |
22,7 |
0,146 |
1,356 |
0,0213 |
0,198 |
1,7 |
22,1 |
0,230 |
1,344 |
0,053 |
0,310 |
2,1 |
19,8 |
0,322 |
1,296 |
0,104 |
0,417 |
2,6 |
17,0 |
0,415 |
1,230 |
0,172 |
0,511 |
4,7 |
12,3 |
0,672 |
1,090 |
0,452 |
0,732 |
6,1 |
10,7 |
0,785 |
1,029 |
0,616 |
0,808 |
7,0 |
1,0 |
0,845 |
1,000 |
0,714 |
0,845 |
10,0 |
8,2 |
1,000 |
0,914 |
1,000 |
0,914 |
12,8 |
6,7 |
1,107 |
0,826 |
1,226 |
0,915 |
16,5 |
5,6 |
1,217 |
0,748 |
1,482 |
0,911 |
20,8 |
5,0 |
1,318 |
0,699 |
1,737 |
0,921 |
40,6 |
3,5 |
1,609 |
0,544 |
2,587 |
0,875 |
|
9,709 |
13,476 |
10,168 |
8,416 |
|
Таким образом, МНК приводит к системе:
13 А0 + 9,709 А1 = 13,476
9,709 А0 + 10,168 А1 = 8,416.
Отсюда А0 = 1,459 и А1 = - 0,565. Согласно табл. 7.1, А0 = lg a, следовательно, a = 101,459 = 28,75 и A1 = b, следовательно, b = - 0,565. Итак, эмпирическая формула из класса степенных функций по МНК имеет вид:
.
(7.2)
Вычислим теперь коэффициенты аппроксимирующей зависимости (уравнения регрессии) из класса гипербол V.
Вычисления по МНК сведем в табл. 7.4. МНК в этом случае приводит к системе
13 А0 + 127,4 А1 = 1,455
127,4 А0 + 2712,4 А1 = 24,11.
Отсюда А0 = - 0,049 и А1 = 0,0064. Согласно табл. 7.1 а = 0,006, b = - 0,049. Итак, эмпирическая формула из класса гипербол V имеет вид:
.
(7.3)
Таблица 7.4
Вычисления МНК для класса V
|
|
|
|
|
1,1 |
25,0 |
0,044 |
1,21 |
0,048 |
1,4 |
22,7 |
0,044 |
1,96 |
0,062 |
1,7 |
22,1 |
0,045 |
2,89 |
0,076 |
2,1 |
19,8 |
0,050 |
4,42 |
0,105 |
2,6 |
17,0 |
0,058 |
6,76 |
0,151 |
4,7 |
12,3 |
0,081 |
22,09 |
0,381 |
6,1 |
10,7 |
0,093 |
37,21 |
0,567 |
7,0 |
10,0 |
0,100 |
49,0 |
0,700 |
10,0 |
8,2 |
0,120 |
100,0 |
1,20 |
12,8 |
6,7 |
0,150 |
163,8 |
1,92 |
16,5 |
5,6 |
0,180 |
272,2 |
2,97 |
20,8 |
5,0 |
0,200 |
432,6 |
4,16 |
40,6 |
3,5 |
0,290 |
1648,3 |
11,77 |
127,4 |
|
1,455 |
2742,4 |
24,11 |
Для окончательного выбора наилучшей эмпирической формулы проводят сравнение значений коэффициента детерминации для рассмотренных классов. Здесь наилучшей является формула (7.2).