3.11. Слабка збіжність випадкових величин

Будемо говорити, що послідовність (послідовність законів розподілів) збігається слабко до розподілу , якщо для будь-якого k

.

Відзначимо, що догранична послідовність чисел задовольняє умовам

і .

Таким же умовам задовольняє і гранична послідовність.

Будемо говорити, що послідовність випадкових величин слабко збігається до випадкової величини і писати , якщо слабко збігаються відповідні їм закони розподілу.

Теорема 3.11. Нехай – послідовність ймовірносних генератрис, а – генератриса послідовності . Для того, щоб при кожному k необхідно і достатньо, щоб при усіх

.

3.12. Граничні теореми в схемі Бернуллі

Нехай – число успіхів у n незалежних випробуваннях Бернуллі з ймовірністю успіху p у кожному випробовуванні. Таким чином

.

Будемо вважати, що від n залежить не тільки число успіхів, але й  p=p_n – ймовірність успіху.

Теорема 3.12 (теорема Пуассона). Якщо при , то для довільного фіксованого

.

Теорема 3.13 (локальна теорема Муавра-Лапласа). Нехай в схемі n випробувань Бернуллі ймовірність успіху - стала величина. Тоді при і m таких, що ( – довільна стала)

,

де - деяка стала величина.

Теорема 3.14 (інтегральна теорема Муавра-Лапласа). Якщо ймовірність успіху у кожному випробуванні - стала, то при

при довільних .

4. Випадкові величини загального типу

4.1. Визначення випадкової величини. Її функція розподілу

Нехай – довільний ймовірносний простір. Числову функцію від елементарної події будемо називати випадковою величиною, якщо для довільного числа x

.

Функцію , визначену при усіх , будемо називати функцією розподілу випадкової величини .

Лема 4.1. Функція розподілу випадкової величини задовольняє властивостям:

а) для ;

b) .

Наслідок 4.1. Якщо функція розподілу випадкової величини , то

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Характеристичні властивості функції розподілу містить наступна теорема.

Теорема 4.1. Функція розподілу має слідуючі властивості:

1) F(x) – неспадна;

2) F(x) – неперервна справа;

3. F(+ ∞)=1;

4. F(- ∞)=0.

Розглянемо приклад функції розподілу. Нехай – число успіхів в схемі випробувань Бернуллі з ймовірністю успіху . Тоді

, .

Функцію розподілу можна подати у вигляді

.

Тепер нехай – випадкова величина, яка має розподіл Пуассона з параметром ,

, .

Тоді представляє собою функцію розподілу  .

4.2. Розподіл ймовірностей випадкової величини. Вибірковий ймовірносний простір

Далі через B_R будемо позначати -алгебру борелівських множин R, тобто мінімальну -алгебру, яка містить множини виду , для будь-якого .

Лема 4.2. Нехай A₀ – деякий клас підмножин R,

 {A₀} – мінімальна - алгебра, яка містить A₀, а – дійсна функція, яка визначена на просторі елементарних подій . Якщо для будь-якого A₀

, то для будь-якого {A₀} .

Наслідок 4.2. Якщо  – випадкова величина, то для кожної множини B_R, і визначена ймовірність

.

Для доведення достатньо замість A₀ узяти клас множин виду , для будь-якого .

Тепер можна дати ”симетричне” визначення випадкової величини. Випадкова величина – це довільне вимірне відображення вимірного простору у вимірний простір (R, B_R).

Функція , визначена для усіх B_R, називається розподілом ймовірностей випадкової величини .