1.4. Зліченна ймовірносна схема

Розглянемо стохастичний експеримент, в результаті якого ми можемо спостерігати зліченне число елементарних подій

.

Як і в попередньому розділі подією будемо називати будь-яку підмножину з . Візьмемо послідовність чисел яка задовольняє наступним умовам

.

На множині усіх підмножин визначимо функцію за формулою

, де , ,

яку і будемо називати ймовірністю. З визначення випливає:

1) ;

2) ;

3) для .

1.5. Геометричне визначення ймовірності

Нехай - множина п – вимірного евклідового простору, яка має обмежений об’єм. Стохастичний експеримент полягає у тому, що п – вимірна точка навмання кидається в область . Розглянемо клас усіх підмножин , які мають об’єм. Для довільного АU подією будемо називати те, що в результаті експерименту , і покладемо

, mes  - об’єм множини.

Таке визначення ймовірності називається геометричним.

Поштовхом до поняття геометричної ймовірності були роботи французького вченого Ж.Бюффона (1707-1778), в яких він сформулював відому задачу про кидання голки на площину і запропонував її розв’язок.

Задача Бюффона. Площина розділена паралельними прямими на відстані 2l . На цю площину навмання кидається голка, довжина якої . Треба знайти ймовірність того, що голка перетне одну з прямих.

Розв’язання. Нехай u – відстань від середини голки до найближчої прямої, - кут між голкою і прямою. Тоді , а подія, що нас цікавить

,

- ймовірність події А.

На вдосконалення моделі геометричної ймовірності мала значний вплив робота Ж.Бертрана (1822-1900) „Calcul de probabilite” (Paris, 1899). Розглянемо одну задачу з цієї роботи.

Парадокс Бертрана. У крузі радіуса R навмання проводиться хорда. Нехай - її довжина. Треба підрахувати ймовірність того, що буде більше за R.

Назва „парадокс” пов’язана з тим, що в наведеній задачі треба уточнювати фразу „навмання проводиться хорда”. У подальшому від вибору уточнення залежить розв’язок задачі і відповідь.

Розглянемо три уточнення.

1. Середина хорди рівноможлива в середині круга.

2) Один кінець хорди закріплюється, а другий – рівноможливий на границі круга.

3) Фіксується певний напрямок і в середині кола проводиться діаметр, паралельний обраному напрямку. Тепер середина хорди – рівноможлива на діаметрі.

При побудові моделі геометричної ймовірності кожне з цих уточнень буде мати свій простір елементарних подій , і=1,2,3 ( - точки круга; - точки границі круга; - точки проведеного діаметра). При подальших підрахунках в рамках цих моделей ми отримаємо три різні відповіді на поставлене питання.

2. Аксіоматика теорії ймовірностей

2.1. Поняття ймовірносного простору. Властивості ймовірності

Клас множин U₀ називається алгеброю, заданою на , якщо виконані три умови:

1) U₀ ;

2) якщо  U₀, то  U₀ ;

3) якщо U₀, то ĀU₀.

Клас множин U називається - алгеброю, заданою на , якщо виконані три умови:

1) U;

2) якщо U, то U;

3) якщо АU, то ĀU.

Множини АU будемо називати подіями.

Числову функцію , визначену на подіях АU , будемо називати ймовірністю, якщо виконані наступні аксіоми:

1. аксіома невід’ємності: для довільного АU,   0;

2. аксіома нормованості:   ;

3. аксіома -адитивності: для довільної послідовності U, , ,

.

Трійка називається ймовірносним простором.

Наслідок 2.1. Мають місце наступні співвідношення:

1) якщо то ;

2) якщо то ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) якщо (тобто ), то

(неперервність імовірності).

Наслідок 2.2.

1) Якщо - довільні події, то ;

2) Якщо то ;

3) Якщо то .