3.8. Генератриси цілочислових випадкових величин

Дискретну випадкову величину , яка приймає цілі невід’ємні значення, будемо називати цілочисловою випадковою величиною. Закон розподілу цілочислової величини визначається ймовірностями

.

Генератрисою цілочислової випадкової величини будемо називати функцію

.

Через закон розподілу генератриса подається сумою ряду

,

який абсолютно збігається при .

Так як , то між законами розподілу і генератрисами встановлюється взаємно однозначна відповідність.

Знайдемо генератриси деяких розподілів:

1. Генератриса біноміального закону розподілу

.

2. Генератриса пуассонівського закону розподілу

.

3. Генератриса геометричного закону розподілу

.

Введемо позначення

для натурального .

Факторіальним моментом r-го порядку випадкової величини будемо називати . Через факторіальні моменти можна подати і навпаки.

Має місце рівність

(3.9)

для довільного цілого невід’ємного r. Дійсно, якщо збігається у якій-небудь точці , то його можна диференціювати почленно в і ми отримаємо

.

У протилежному випадку визначимо як і знов ж таки маємо

.

У рівності (3.9) обидві частини можуть бути нескінченними.

Підрахуємо на основі (3.9) математичні сподівання деяких розподілів.

1. Біноміальний розподіл: .

2. Пуассонівський розподіл: .

3. Геометричний розподіл: .

3.9. Багатовимірні генератриси

Нехай – випадковий вектор з цілочисловими компонентами , Позначимо , де – можливе значення вектора   . Багатовимірною генератрисою називається

.

За допомогою похідних від підраховуються змішані факторіальні моменти

.

У подальшому важливе значення має наступний результат.

Теорема 3.8. Якщо – незалежні цілочислові випадкові величини, – їх генератриси, то

.

Нехай – послідовність цілочислових, однаково розподілених, незалежних випадкових величин з генератрисою ; – незалежна від них цілочислова випадкова величина з генератрисою .

Нехай при .

Теорема 3.9. Генератриса дорівнює суперпозиції

.

3.10. Гіллясті процеси

Нехай є деяка кількість однотипних частинок, які розмножуються незалежно одна від одної. p_n – ймовірність того, що одна частинка перетворюється в n частинок, – генератриса розподілу ймовірностей .

Для розглянемо – незалежні випадкові величини з розподілом, що визначається генератрисою . Величина представляє собою число нащадків -ої частинки -ого покоління. Гіллястий процес , , визначимо рекурентно

, , .

Очевидно, що – число частинок в t-ому поколінні.

З теореми 3.9 випливає, що

. (3.10)

З цього співвідношення знаходимо

.

Позначимо . Диференціюванням (3.10) по s в точці 1 дістанемо , звідки .

Поведінка гіллястого процесу суттєво визначається значенням параметру A – середнім числом безпосередніх нащадків від однієї частинки.

Очевидно

1) , якщо ;

2) , якщо ;

3) , якщо .

Будемо називати гіллястий процес докритичним, надкритичним або критичним, якщо відповідно , , .

Якщо , то ми будемо говорити, що гіллястий процес виродився до моменту часу t

.

Так як , то не зменшується і при має границю , яку ми будемо називати ймовірністю виродження.

Теорема 3.10. Якщо , то для того, щоб , необхідно і достатньо, щоб процес був надкритичним.