3.4. Багатовимірні закони розподілу

Нехай на дискретному ймовірносному просторі ( ) задано n випадкових величин . Їх можна розглядати, як одну п-вимірну випадкову величину . п-вимірним законом розподілу випадкових величин (або законом розподілу векторної випадкової величини ) будемо називати ймовірність

,

яка розглядається як функція числової множини .

Цей закон можна задавати ймовірностями

, де

,

а – значення, які приймають випадкові величини .

За п-вимірним законом розподілу випадкових величин можна визначити закон розподілу кожної , який називається одновимірним законом розподілу:

.

Відзначимо, що одновимірні закони розподілу однозначно визначаються за багатовимірним. Зворотне твердження в загальному випадку невірне. Воно буде справедливим в одному частковому випадку, який ми зараз розглянемо.

Випадкові величини називаються незалежними, якщо для довільних

. (3.4)

Можна дати інше визначення незалежності. Випадкові величини - незалежні, якщо для довільних числових множин В₁,В₂,...,В_п

. (3.5)

Лема 3.1. Визначення незалежності (3.4) і (3.5) еквівалентні.

Випадкові величини послідовності , які задані на одному ймовірносному просторі, будемо називати незалежними, якщо незалежний будь-який скінченний набір випадкових величин цієї послідовності.

У подальшому часто буде використовуватись наступний результат.

Теорема 3.3. Нехай і – незалежні дискретні випадкові величини, а f і g - довільні дійсні функції. Тоді і незалежні випадкові величини.

3.5. Додаткові властивості математичного сподівання і дисперсії

Теорема 3.4. Нехай і – сумовні і незалежні випадкові величини. Тоді  – сумовна випадкова величина і

. (3.6)

Співвідношення (3.6) називається мультиплікативною властивістю математичного сподівання. Методом математичної індукції цю властивість можна поширити на випадок п випадкових величин: якщо випадкові величини сумовні і незалежні, то випадкова величина сумовна і

.

Теорема 3.5. Якщо – незалежні і то

. (3.7)

Властивість (3.7) називають адитивною властивістю дисперсії.

3.6. Коваріація та коефіцієнт кореляції

Коваріацією величин і називають

.

Коефіцієнтом кореляції величин і називають величину

.

Випадкові величини і некорельовані, якщо .

Властивості коефіцієнта кореляції:

1) .

2. Якщо , то з ймовірністю 1 виконується співвідношення

.

2. Якщо випадкові величини незалежні, то .

Обернене твердження невірно.

3.7. Нерівність Чебишова і закон великих чисел

Теорема 3.6 (нерівність Чебишова). Якщо , то для будь-якого

. (3.8)

Теорема 3.7 (П.Л. Чебишов). Якщо незалежні і існує така константа c>0, що то для довільного

.

Наслідок 3.1. Якщо незалежні, однаково розподілені і , то для довільного

.

Наслідок 3.2. Нехай - число успіхів у n випробуваннях Бернуллі з ймовірністю успіху р, 0<p<1, у кожному випробуванні. Тоді для довільного

.

Із законом великих чисел пов’язане важливе поняття збіжності за ймовірністю. Нехай на одному ймовірносному просторі задано послідовність випадкових величин і випадкову величину . Будемо говорити, що послідовність випадкових величин збігається за імовірністю до , якщо для будь-якого

.

Факт збіжності будемо позначати через

або .

В термінах збіжності за імовірністю зручно записувати варіанти законів великих чисел. Наприклад, при виконанні умов наслідку 3.1

.