2.2. Умовні ймовірності. Незалежність подій

Нехай проводиться n експериментів, n_{B -} число експериментів, у яких відбулась подія B. Нехай серед n_B експериментів разом з B подія A відбулась n_AB разів. Частотою події A по відношенню до експериментів з наслідком B є відношення

.

Ця формула є підґрунтям наступного визначення: якщо подія В така, що , то умовна ймовірність події А при умові, що відбулась подія В, дорівнює

. (2.1)

Для умовної ймовірності Р(А/B) будемо також використовувати позначення Р_В(А). При фіксованому В Р_В(·) має усі властивості ймовірності:

1. Р_В(А)  0;

2. Р_В() = 1;

3. , якщо і , .

Для Р_В(·) = Р(·/В) також справедливі наслідки 2.1, 2.2 з аксіом.

Рівність (2.1) можна подати у вигляді

Р(А·В) = Р(В) Р(А/В). (2.2)

Методом математичної індукції неважко цю рівність узагальнити

Р(А_п А_п-1 .. А₁)=Р(А_п/А_п-1...А₁)Р(А_п-1/А_п-2...А₁)...Р(А₂/А₁)Р(А₁),

якщо Р( А_п-1... А₁)  0.

Події А і В будемо називати незалежними, якщо .

Розглянемо такий приклад. Нехай подія А полягає у тому, що навмання кинута у квадрат зі стороною 1 точка впала в область, що лежить вправо від абсциси а, подія В – у тому, що точка впала в область, що лежить вище ординати b. Очевидно, що P(A∙B)=P(A)·Р(В). Останнє співвідношення можна підтвердити наступним рисунком:

Властивості незалежних подій:

1. Якщо , і , – незалежні, тоді .

2. Якщо А і В – незалежні, то незалежними будуть і B, A і , і  (властивість спадковості).

Події незалежні у сукупності, якщо для будь-яких індексів

.

Приклад (С.Н. Бернштейн). Стохастичний експеримент полягає у тому, що на площину кидається тетраедр. Три грані тетраедра пофарбовані відповідно у червоний, синій і зелений колір, а на четверту нанесені усі три кольори. Нехай А – подія, яка полягає у тому, що при підкиданні тетраедра на площину впала грань, яка має червоний колір, подія В – синій колір, подія С – зелений колір. Треба дослідити систему подій А, В, С на незалежність.

Перевіримо, що А, В, С – попарно незалежні, але не є незалежними у сукупності. Дійсно,

,

,

.

2.3. Формула повної ймовірності і формула Байєса

Важливу роль в теорії ймовірностей відіграє наступний результат.

Теорема 2.1 (формула повної ймовірності). Нехай для події A існує послідовність подій B_i , i = 1,2,… таких, що B_iB_j =  для i  j, P(B_i) > 0 для i = 1,2,… , і, крім того, Тоді

. (2.3)

Теорема 2.2 (Формула Байєса). Нехай - повна група подій і В – деяка подія такі, що Тоді

. (2.4)

Формулі Байєса можна дати наступну інтерпретацію. Будемо називати події гіпотезами. Нехай подія В – результат деякого експерименту. Імовірність Р(А_і) – це апріорні ймовірності гіпотез, які підраховані до проведення експерименту. Умовні ймовірності Р(А_і/В) – це апостеріорні ймовірності гіпотез, які підраховані після того, як став відомим результат В. Формула Байєса дозволяє за апріорними ймовірностями і за умовними ймовірностями події В при гіпотезах А_і підраховувати апостеріорні ймовірності.