4.14. Закон великих чисел у формі Хінчина

Теорема 4.8. Нехай – послідовність незалежних, однаково розподілених випадкових величин, які мають і нехай . Тоді при .

Доведений результат будемо називати законом великих чисел у формі Хінчина.

4.15. Центральна гранична теорема

Наступний результат є одним з варіантів центральної граничної теореми – теореми про апроксимацію розподілу сум величин нормальним розподілом.

Теорема 4.9. Якщо випадкові величини – незалежні, однаково розподілені і мають скінченні і , то для будь-якого

.

Нехай - послідовність незалежних, однаково розподілених випадкових величин, причому

Тоді - число успіхів у п випробовуваннях Бернуллі. Тепер інтегральна теорема Муавра-Лапласа для (теорема 3.14) є наслідком теореми 4.9.

Розглянемо ще два застосування центральної граничної теореми.

1) При вимірюванні деякої невипадкової величини а ми отримуємо наближене значення . Похибка , яку ми зробили, може бути подана у вигляді суми двох похибок , де - випадкова похибка, - систематична похибка. Ефективні методи вимірювань не мають систематичної похибки, тому будемо вважати, що .

Для зменшення похибки роблять п незалежних вимірювань . За оцінку величини а приймають середнє . Центральна гранична теорема дозволяє проаналізувати похибку

.

2) Доведемо за допомогою центральної граничної теореми співвідношення

.

Нехай - випадкова величина, розподілена за законом Пуассона з параметром п. Тоді . Величину подамо у вигляді , де - незалежні і мають пуассонівський розподіл з параметром , .

Отже

.

Л І Т Е Р А Т У Р А

1. Лебєдєв Є.О., Шарапов М.М. Вступ до теорії імовірностей. – К.: Видавничо-поліграфічний центр “Київський університет”, 2010. – 151 с.

2. Лебєдєв Є.О., Шарапов М.М. Курс лекцій з теорії ймовірностей. – К.: Норіта-плюс, 2007.

3. Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. – М.: Наука, 1982.

4. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – 8-е изд., испр. и доп. – М.: Едиториал УРСС, 2005.

5. Боровков А.А. Теория вероятностей. – 5-е изд. – М., 2009.

6. Карташов М.В. Імовірність, процеси, статистика: посібник. – К.: ВПЦ “Київський університет”, 2007.

7. Дороговцев А.Я., Сильвестров Д.С., Скороход А.В., ЯдренкоМ.И. Теорія ймовірностей: зб. задач. – К.: Вища шк., 1976.

8. Братійчук М.С., Лебєдєв Є.О., Чечельницький О.А. Збірник задач з теорії ймовірностей та страхової математики: навч. посібник. – К., 2002.

9. Лебєдєв Є.О., Чечельницький О.А., Шарапов М.М., Братійчук М.С. Збірник задач з теорії ймовірностей: навч. посібник. – К.: ВПЦ “Київський університет”, 2006.

55