5.2. Логика предикатов

С помощью формул логики высказываний можно описать структуру сложных высказываний. Для описания внутренней логической структуры простых высказываний (т.е. высказываний, не содержащих связок) используются другие средства, которые вместе с логикой высказываний образуют логику предикатов.

Чтобы яснее представить о какой логической структуре идет речь, рассмотрим пять высказываний:

1. 15 – нечетное число.

2. 8 – нечетное число.

3. 6 5.

4. В Ярославле жителей больше, чем в Вязьме.

5. В Москве жителей больше, чем в любом другом городе России.

Все эти высказывания – простые и, следовательно, в логике высказываний изображаются одной буквой. Все, что о них можно сказать в этой логике, – это то, что высказывание (2) ложно, а остальные – истинны.

В то же время ясно, что между высказываниями (1) и (2) или между (4) и (5) сходства гораздо больше, чем между (1) и (5).

В высказываниях (1) и (2) речь идет о числах, которым приписывается одно и то же свойство – нечетность. В высказывании (3) утверждается наличие отношения неравенства между числами. В высказываниях (4) и (5) говорится о городах, относительно которых утверждается наличие некоторого отношения между ними – «иметь больше жителей».

Числа и города – это объекты. Множество объектов (целых чисел, городов России и т.д.), о которых делаются утверждения, называется предметной областью, а сами утверждения об отношениях между объектами называются nместными предикатами.

С математической точки зрения:

nместный предикат – это функция от переменных, причем переменные принимают значения из предметной области, а функция принимает два логических значения – истинно и ложно.

Нечетность – это одноместный предикат. Если его обозначить через , тогда высказывания (1) и (2) запишутся как и , т.е. как один и тот же предикат нечетности с разными значениями (15 и 8) переменной , взятыми из одной и той же предметной области целых чисел.

«Иметь больше жителей» – это двуместный предикат . Высказывание (4) можно записать как .

Неравенство – тоже двуместный предикат, для обозначения которого можно сохранить обычную запись: .

Таким образом, формулы вида и  это переменные высказывания, которые становятся истинными или ложными при подстановке вместо и предметных констант – конкретных объектов из предметных областей.

Кроме того, из предикатов можно получать конкретные высказывания, не содержащие предметных констант, а утверждающих нечто обо всей предметной области.

В естественном языке это делается с помощью оборотов «для всех (т.е. для всех объектов) справедливо, что…» и «существует такой , что…».

В языке формул логики предикатов этим оборотам соответствуют специальные знаки – кванторы: квантор общности и квантор существования .

Присоединение квантора с переменной к предикатной формуле, содержащей , называется навешиванием квантора на переменную . Переменная при этом называется связанной, вместо нее подставлять предметные константы уже нельзя.

Например, формула означает «для всех целых чисел справедливо то, что они нечетны» или, короче, «все целые числа – нечетны». Это – конкретное высказывание, которое ложно. Формула означает истинное высказывание «существуют нечетные целые числа».

Если квантор навешивается на формулу с несколькими предметными переменными, то он уменьшает число свободных (несвязанных) переменных в этой формуле. Например, формула обозначает высказывание «в городе больше жителей, чем в любом городе « и содержит одну свободную переменную . Это высказывание ложно для любого , потому что «любой город» подразумевает в том числе и , но ни в каком городе не может быть больше жителей, чем в нем самом. «Шансы на истинность» имеет уточненное высказывание: «в городе больше жителей, чем в любом другом городе , не совпадающем с _»:

,

в которой оба вхождения переменной связаны квантором (с помощью скобок). Подстановка «Москва» вместо дает формулу, выражающую истинное высказывание (5).

Как и в логике высказываний, в логике предикатов имеются эквивалентные соотношения, позволяющие преобразовывать предикатные формулы. Например,

 один квантор можно выразить через другой:

, ,

 формулу, не содержащую переменную , можно вынести за пределы действия квантора, связывающего :

; .

Однако, в целом, логику предикатов не удается представить в виде алгебры, столь же эффективной как алгебра логики (т.к. вычисление истинности предикатов, содержащих кванторы, в общем случае заключается в подстановке всех возможных значений предметных переменных, которых может быть бесконечное множество).

Поэтому логика предикатов организуется в виде исчисления предикатов, которое содержит аксиомы и правила вывода исчисления высказываний, а также дополнительные предикатные аксиомы и правила вывода.

В качестве аксиом обычно принимаются две формулы:

_{, (1)}

_{, (2)}

где – любая предикатная формула, содержащая свободную переменную , а в качестве правил вывода – правила, вводящие кванторы:

_{, (3)}

, (4)

в этих правилах требуется, чтобы формула содержала свободную переменную , а ее не содержала.

Пример 1.

Рассмотрим известнейший силлогизм, на протяжении двух тысячелетий переходящий из одних ученых трудов в другие:

Все люди смертны.

Сократ – человек. .

Следовательно, Сократ – смертен.

Этот силлогизм является частным случаем «первой фигуры» силлогизма:

Все, кто обладает свойством P, обладает свойством Q.

y обладает свойством P. .

Следовательно, y обладает свойством Q.

Обосновать силлогизм на языке предикатов – это значит записать три его утверждения на этом языке и показать, что в исчислении предикатов из первых двух утверждений (посылок) выводимо третье (заключение).

Предикатная запись первой фигуры силлогизма выглядит так:

(5)

(6)

(7)

Формальный вывод заключения (7) из посылок (5) и (6) состоит в следующем:

1. В первую предикатную аксиому (1) вместо подставим (импликация: если …, то …). Получим:

. (8)

2. Из формул (8) и (5) по правилу Modus Ponens ( ) следует, что выводима формула

. (9)

3. Из формул (9) и (6) по правилу Modus Ponens выводима формула , что и требовалось:

.

Префиксной нормальной формой называется выражение вида:

,

где кванторы, навешанные на переменные – предикатная формула, имеющая вид ДНФ.