4.6. Алгебра Жегалкина
Алгеброй
Жегалкина
называется алгебра вида
.
В алгебре Жегалкина действуют тождества:
1) коммутативность сложения по модулю 2
;
2) ассоциативность сложения по модулю 2
;
3) дистрибутивность конъюнкции по отношению к сложению по модулю 2
,
4)
а также все тождества, истинные для конъюнкции.
От любой булевой формулы можно перейти к формуле алгебры Жегалкина, используя тождества:
,
.
Полином Жегалкина – это формула алгебры Жегалкина, имеющая вид суммы по модулю 2 элементарных конъюнкций различного количества переменных без отрицаний.
Линейной функцией называется функция, полином Жегалкина которой имеет вид:
,
где,
.
Упражнения
1. Привести функцию, заданную булевой формулой, к полиному Жегалкина. Проверить, обладает ли она свойством линейности.
;
;
;
;
;
;
.
2. Привести функцию к полиному Жегалкина. Проверить, обладает ли она свойством линейности.
;
;
;
;
.
Получить суперпозицию линейных функций f(x, y, z), g(x, y, z), h(x, y, z). Убедится в том, что полученная суперпозиция будет линейной функцией, где
;
;
.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
4.7. Двойственность в алгебре логики. Самодвойственные функции
Функция
называется
двойственной
функцией к
функции
.
Чтобы получить двойственную функцию из исходной, надо каждой переменной придать отрицание на самом нижнем уровне формулы, затем общее отрицание всей формуле (на самом верхнем уровне) и привести к ДНФ (упростить).
У двойственной
функции на противоположных наборах
принимаются противоположные значения:
если
,
то
.
Функция
называется самодвойственной,
если
.
Самодвойственными
являются функции
.
Вектор-столбец самодвойственной функции антисимметричен относительно своей середины (при лексикографическом порядке аргументов).
Принцип двойственности
Если
в формуле F,
представляющей функцию f
все знаки функций заменить на знаки
двойственных функций, то получится
формула
,
представляющая функцию
,
двойственную к f.
Пример.
Получить функцию, двойственную к
с помощью определения двойственной
функции. Выяснить, является ли функция
самодвойственной.
.
.
Вывод: функция не самодвойственна.
Упражнения
Получить функцию, двойственную к с помощью определения двойственной функции. Выяснить, является ли функция самодвойственной.
;
;
;
.
2. Получить функцию,
двойственную к
с помощью принципа двойственности.
Выяснить, является ли функция
самодвойственной.
;
;
;
;
.
Построить ДНФ двойственной функции, к функции, заданной своим вектор-столбцом.
x |
y |
z |
f |
g |
h |
p |
q |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
4. Определить по вектор-столбцу, является ли функция самодвойственной. Если функция не самодвойственная, то
а) построить ДНФ двойственной функции, к функции, заданной своим вектор-столбцом;
б) по первой половине вектор-столбца функции доопределить самодвойственную функцию и выписать ее ДНФ.
x |
y |
z |
f |
g |
h |
p |
q |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |