Деревья, их свойства. Характеристические числа графов. Сети
Дерево – это связный ациклический граф.
Теорема 1
Граф G является деревом тогда и только тогда, когда любые 2 его вершины связаны единственной простой цепью.
Теорема 2
Граф G является деревом с n вершинами тогда и только тогда, когда у него ровно n-1 ребро.
Лес из k деревьев – это несвязный ациклический граф, содержащий ровно k компонент связности.
Теорема 3
Лес с n вершинами, состоящий из k деревьев, содержит ровно n-k ребер.
Остов графа G – это подграф графа G, который является деревом.
Концевая вершина дерева – вершина, локальная степень которой равна 1. Концевое ребро – ребро инцидентное концевой вершине.
Пусть дано дерево Т.
Назовем концевые вершины дерева Т вершинами типа 1.
Удалим из дерева Т все концевые ребра. Получим дерево Т1. Его концевые вершины назовем вершинами типа 2 (для исходного дерева Т). Продолжаем процесс, пока не останутся вершины максимального типа. Их может быть 1 или 2.
Теорема 4
Центрами деревьев являются вершины максимального типа и только они. Все диаметральные цепи проходят через центры и имеют длину 2k–2, если центр 1; 2k–2, если центра 2.
Корнем дерева называется любая помеченная вершина.
Если в дереве определен корень, все ребра графа можно ориентировать (от корня). Причем, ребро (a, b) ориентируется от a к b, если цепь, связывающая корень с вершиной а не проходит через вершину b, и наоборот.
Ветвью вершины а называется подграф, порожденный множеством В(а) – вершин, связанных с корнем цепями, проходящими через вершину а.
Характеристические числа графа – это цикломатическое число, число внутренней устойчивости и число внешней устойчивости.
Цикломатическое число графа G находится по формуле:
.
Здесь
– число ребер графа G;
– число вершин;
– число компонент связности.
Теорема 5
.
Причем, если
,
то граф не имеет циклов, то есть является
деревом или лесом;
,
то граф имеет ровно 1 цикл.
Число внутренней
устойчивости графа G
обозначается
– это максимальное число несмежных
вершин графа.
Множеством
внешней устойчивости графа G
(внешне
устойчивым множеством)
называется
любое множество вершин Q
такое, что из каждой вершины множества
хотя бы одна дуга ведет в вершину
множества Q.
Если граф неориентированный, то число
внешней устойчивости ищется для
канонически соответствующего
ориентированного графа.
Число внешней
устойчивости графа G
обозначается
– это мощность минимального внешне
устойчивого множества.
Сетью называется любой частично-ориентированный граф S, некоторые вершины которого помечены.
Некоторые помеченные вершины называются входными полюсами, другие – выходными полюсами. Непомеченные вершины называются внутренними. Простая цепь, связывающая входной и выходной полюс будет называться цепью.
Если сеть содержит k входных и n выходных полюсов, то она называется (k, n)-полюсником.
Двухполюсной сетью называется сеть, являющаяся (1, 1)-полюсником.
Пусть дана частично
ориентированная двухполюсная сеть.
Пусть для каждого ребра сети определена
пропускная способность ребра
.
Потоком
в сети называется пара объектов
,
где
– некоторая ориентация неориентированных
ребер сети, f
= f(e),
функция значения потока на ребре е,
которая удовлетворяет следующим
условиям:
ограничение:
для каждой внутренней вершины выполняется закон Киргоффа:
,
где
– множество ребер выходящих из вершины
,
где
– множество ребер входящих в вершину
.
Если
– входной полюс сети, а
– выходной полюс, то
.
Величиной
потока в сети
назовем число
.
Очевидно, что величина потока в сети
зависит и от ориентации ребер
,
и от задания функции f(e),
то есть
является величиной переменной.
Сечением в сети называется совокупность ребер, при удалении которых сеть становится несвязной. Сечение называется простым, если при удалении из него хотя бы одного ребра, оно перестает быть сечением.
Утверждение:
Для каждого ребра простого сечения найдется цепь, проходящая только через это ребро простого сечения.
Если эта цепь идет в направлении этого ребра, то оно называется прямым, если против направления ребра, то обратным. Неориентированные ребра цепи всегда прямые.
Пропускной способностью сечения W называется сумма W(c) пропускных способностей его прямых ребер.
Теорема Форда-Фалкерсона
Максимальная величина потока в сети равна минимальной пропускной способности его простых сечений.