
- •Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «кемеровский государственный университет»
- •Кафедра автоматизации исследований
- •И технической кибернетики
- •Дискретная математика
- •Содержание
- •Глава 1. Теория множеств. Дискретная теория вероятности......5
- •Глава 2. Теория графов.....................................................................53
- •Глава 3. Дискретные структуры: конечные автоматы, коды...76
- •Глава 4. Алгебра логических функций..........................................88
- •Глава 5. Логика высказываний и логика предикатов..............109
- •Глава 6. Схемы переключателей. Комбинационные схемы...................................................................................................123
- •Глава 1. Теория множеств. Дискретная теория вероятности
- •Множества и операции над ними
- •Упражнения
- •1.2. Векторы и прямые произведения множеств. Проекция вектора на ось
- •Упражнения
- •1.3. Комбинаторика Правило суммы
- •Правило произведения
- •Число размещений без повторений
- •Число размещений с повторениями
- •Число перестановок без повторений
- •Число сочетаний без повторений
- •Упражнения
- •1.4. Введение в дискретную теорию вероятностей
- •Свойства элементарных событий:
- •Соотношения между событиями:
- •Свойства операций над событиями:
- •Упражнения
- •1.5. Соответствия и функции
- •Взаимно однозначные соответствия и мощность множеств
- •Упражнения
- •1.6. Отношения
- •Способы задания бинарных отношений
- •Свойства бинарных отношений
- •Отношение эквивалентности
- •Отношение порядка
- •Лексико-графический порядок.
- •Упражнения
- •1.7. Операции и алгебры
- •Свойства бинарных алгебраических операций
- •1.8. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр
- •Полугруппы, группы, решетки
- •Упражнения
- •Глава 2. Теория графов
- •2.1. Основные определения, способы задания, основные классы, изоморфизм графов
- •Способы задания графа
- •Степени вершин графа
- •Части, суграфы и подграфы
- •Операции над частями графа
- •Графы и бинарные отношения
- •Упражнения
- •Среди пар графов, изображенных на рисунке, указать пары изоморфных графов и пары неизоморфных графов. Ответ обосновать.
- •Маршруты, цепи и циклы. Расстояния, диаметры, центры. Обходы. Разделяющие множества и разрезы
- •Упражнения
- •Деревья, их свойства. Характеристические числа графов. Сети
- •Упражнения
- •Глава 3. Дискретные структуры: конечные автоматы, коды
- •3.1. Машина Тьюринга
- •Упражнения
- •Основы теории кодирования
- •Упражнения
- •Глава 4. Алгебра логических функций
- •4.1. Основные определения
- •Упражнения
- •4.2. Эквивалентные преобразования
- •Упражнения
- •4.3. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы
- •Упражнения
- •4.4. Дизъюнктивные нормальные формы и импликанты
- •Упражнения
- •4.5. Минимизация днф. Тупикова днф
- •Упражнения
- •4.6. Алгебра Жегалкина
- •Упражнения
- •4.7. Двойственность в алгебре логики. Самодвойственные функции
- •Принцип двойственности
- •Упражнения
- •4.8. Функциональная полнота систем
- •Упражнения
- •Глава 5. Логика высказываний и логика предикатов
- •5.1. Логика высказываний
- •Алгебра логики
- •Исчисление высказываний
- •Упражнения
- •5.2. Логика предикатов
- •Упражнения
- •Глава 6. Схемы переключателей. Комбинационные схемы
- •Схемы переключателей
- •Комбинационные схемы
- •Упражнения
- •Литература
- •650043, Кемерово, ул. Красная, 6.
Среди пар графов, изображенных на рисунке, указать пары изоморфных графов и пары неизоморфных графов. Ответ обосновать.
1)
2)
Задать различными способами, определенные ниже графы G. Определить их типы, построить дополнения , если
– треугольник;
– четырехугольник;
– пятиугольник;
Маршруты, цепи и циклы. Расстояния, диаметры, центры. Обходы. Разделяющие множества и разрезы
Пусть G – конечный граф.
Маршрутом в G называется последовательность ребер, в которой каждые два соседних ребра имеют общую вершину:
.
Число ребер в маршруте называется его длиной.
Маршрут, в котором
совпадают начальная и конечная вершины,
т.е.
,
называется циклическим
(замкнутым).
Маршрут, в котором все ребра разные называется цепью (т.е. каждое ребро в нем встречается не более одного раза).
Цепь, в которой все вершины, кроме может быть первой и последней, разные называется простой цепью (т.е. каждая вершина и ребро в нем встречается не более одного раза).
Циклический (замкнутый) маршрут называется циклом, если он является цепью (т.е. все ребра в нем разные), и простым циклом, если эта цепь простая (т.е. и все вершины кроме первой и последней, разные).
Граф, не содержащий циклов, называется ациклическим.
Лемма: Если степень всех вершин в графе больше 1 (больше или равна 2), то граф обязательно содержит цикл.
Вершины
и
называются связными,
если существует маршрут с началом в
и концом
в
.
Утверждение: Связанные маршрутом вершины связаны также и простой цепью.
Утверждение:
Отношение связности вершин графа
является отношением эквивалентности
и определяет разбиение множества вершин
графа на непересекающиеся подмножества
.
Граф называется связным, если для любых двух различных вершин существует цепь (маршрут, простая цепь), соединяющая их.
Граф G называется связным, если все его вершины связаны между собой. Очевидно, что все подграфы G(Vi) этого графа связны и называются связными компонентами графа.
Множество ребер, при удалении которых связный граф G становится несвязным, а несвязный граф увеличивает число компонент связности, называется разделяющим множеством. Минимальное разделяющее множество называется разрезом.
Ребро, при удалении которого граф перестает быть связным, называется мостом или перешейком.
Утверждение:
Каждый н-граф распадается единственным
образом в прямую сумму своих связных
компонент
.
Расстоянием d(v´, v´´) между .вершинами v´ и v´´ н-графа G называется минимальная длина простой цепи с началом v´ и концом v´´. или Расстоянием d(v´, v´´) между вершинами v´ и v´´ н-графа G называется длина кратчайшей (а, значит, простой) цепи с началом v´ и концом v´´.
Центром называется вершина н-графа, от которой максимальное из расстояний до других вершин являлось бы минимальным.
Максимальное расстояние от центра G до его вершин называется радиусом графа r(G).
Диаметром связного графа D(G) называется расстояние между двумя наиболее удаленными друг от друга вершинами.
Эйлеров цикл – цикл графа, без повторения ребер, обходящий все вершины графа. Эйлеров граф – граф, имеющий эйлеров цикл.
Теорема Эйлера: Конечный неориентированный граф G эйлеров тогда и только тогда, когда он связен и степени всех его вершин четны.
Эйлерова цепь (полуэйлеровый граф) – цепь, включающая все ребра данного конечного н-графа G, но имеющая различные начало v´ и конец v´´, т.е. это граф, в котором если существует маршрут без повторения ребер (эйлеров путь), обходящий все ребра графа ровно один раз.
Эйлеров (и полуэйлеров) граф можно считать следом пера, вычерчивающего этот граф, не отрываясь от бумаги)
Теорема Эйлера (2): Конечноый н-граф G будет полуэйлеровым (в нем существует эйлерова цепь), тогда и только тогда, когда он связный и четность степеней всех вершин, кроме начальной v´ и конечной v´´ (v´ и v´´должны иметь нечетные степени).
Чтобы в конечном орграфе существовал эйлеров цикл, необходимы и достаточны его связность, а также равенство степеней вершин этого графа по входящим и выходящим ребрам, т.е. ρ1 (v) = ρ2 (v), ∀ v ∈ G.
Алгоритм Флери нахождения эйлерова цикла:
Начиная с (любой) вершины нечетной степени, ”стираем” пройденные ребра, причем по мосту (перешейку) проходим только, если нет других возможностей.
Гамильтонов цикл – простой цикл, проходящий через все вершины рассматриваемого графа.
Гамильтонова цепь – простая цепь, проходящая через все вершины графа, с началом и концом в разных вершинах v1, v2 ∈ G.
Кратко рассмотрим проблему, связанную с возможным обходом всех вершин в графе: существует ли в данном (связном) графе цикл (или маршрут), обходящий каждую вершину (кроме первой) только один раз. Если такой цикл (маршрут) существует (в этом случае такой цикл будет контуром, а маршрут – путем), то граф называется гамильтоновым (полугамильтоновым), и соответствующий цикл (путь) также называют гамильтоновым циклом (путем). Несмотря на сходство постановки задач для гамильтоновых графов с эйлеровыми, “хорошего” решения для гамильтоновых графов нет. Вообще, о гамильтоновых графах известно очень мало. В основном – это теоремы типа “если в графе достаточное число ребер, то он гамильтонов”. Ясно, что теоремы такого типа не могут дать критерия гамильтонова графа, поскольку в графах такого типа вершин может быть очень много, а ребер сравнительно мало.
Приведем без доказательства самую известную теорему.
Теорема (Дирак, 1952). Если в связном графе с п вершинами (при n) степени всех вершин больше или равны п/2, то граф гамильтонов.