Полугруппы, группы, решетки
Алгебра с одной
бинарной ассоциативной операцией
называется полугруппой.
Эта операция обычно называется умножением
и обозначается
или ab.
Такая запись называется мультипликативной.
В частности аа
обозначается как
,
ааа как
и т. д. В общем случае
.
Полугруппа
называется
коммутативной,
если операция умножения коммутативна.
Если полугруппа содержит такой элемент
е,
что для любого а
выполняется
,
то такой элемент называется единицей.
Полугруппа с единицей называется
моноидом.
Пример 1.
Множество действительных чисел с операцией умножения является полугруппой с единицей. Здесь е = 1.
Утверждение 1.
Единица в полугруппе всегда единственна.
Группой
называется полугруппа с единицей, в
которой для каждого элемента а
существует обратный
элемент
,
удовлетворяющий условию
.
Утверждение 2.
Для каждого элемента а в группе существует единственный обратный элемент .
Число элементов группы называется порядком группы. Группа называется абелевой, если операция группы коммутативна. Группа, все элементы которой является степенями одного и того же элемента а, называется циклической.
Утверждение 3.
Циклическая группа всегда абелева.
Пример 2.
Множество целых чисел с операцией сложения является циклической.
Пример 3.
Множество целых
чисел с операцией сложения является
абелевой группой. Единицей по сложению
является
.
Для каждого числа
существует обратный (здесь: противоположный)
– z < 0.
И наоборот. Для числа 0 противоположным
является число 0.
Множество, на котором кроме операций заданы отношения называется алгебраической системой. Таким образом, алгебра является частным случаем алгебраической системы.
Рассмотрим частный случай алгебраической системы – решетку.
Пусть дано
частично-упорядоченное множество М.
Отношение порядка в общем случае будем
обозначать
.
Верхней
гранью элементов а и b
из М
называется элемент
,
такой что
и
.
Нижней
гранью
элементов
а и b
из М
называется элемент
,
такой что
и
.
В общем случае для некоторых элементов
а
и b
нижняя грань может не существовать или
не быть единственной.
Решеткой
называется частично упорядоченной
множество, в котором для любых двух
элементов а
и b
существует
и единственна наибольшая
нижняя грань,
обозначаемая
и наименьшая
верхняя грань,
обозначаемая
.
Таким образом решетка – это алгебраическая
система вида
с одним бинарным отношением и одной
бинарной операцией.
Пример 4.
Любое полностью
упорядоченное множество (например,
множество целых чисел) можно превратить
в решетку, определив для любых а
и b
из М
; 
.
Упражнения
Проверить коммутативность и ассоциативность операций.
1) сложение чисел; 2) умножение чисел; 3) сложение матриц; 4) умножение матриц (проверить на примере квадратных матриц А, В и С 2-ого порядка); 5) возведение в степень; 6) ln xy (где х, у >0); 7) х-у; з) х/у.
2. Проверить дистрибутивность слева и справа операции ψ отношению к операции φ.
1) φ – сложение чисел, ψ – умножение чисел; 2) φ – умножение чисел, ψ – сложение чисел; 3) φ – объединение множеств, ψ – пересечение множеств; 4) φ – пересечение множеств, ψ – объединение множеств; 5) φ – умножение чисел, ψ – возведение в степень; 6) φ – возведение в степень, ψ – умножение чисел; 7) φ – возведение в степень, ψ – сложение чисел.
3. На множестве
задать с помощью таблицы Келли операции
–
сложение по модулю 4 и
–
умножение по модулю 4. Продемонстрировать
на примере их коммутативность,
ассоциативность, дистрибутивность
по отношению к
,
отсутствие дистрибутивности
по отношению к
.
4. На множестве
задать с помощью таблицы Келли операции
–
сложение по модулю 16 и
–
умножение по модулю 16.
Найти значения выражений:
1)
;
2)
.
5. В конечной алгебре
поля
рассчитать
значения выражений:
1)
;
2)
.
6. В поле
,
операции которого заданы таблицами
Келли
* |
a |
b |
c |
d |
|
+ |
a |
b |
c |
d |
a |
a |
a |
a |
a |
|
a |
a |
b |
c |
d |
b |
a |
b |
c |
d |
|
b |
b |
a |
d |
c |
c |
a |
c |
d |
b |
|
c |
c |
d |
a |
b |
d |
a |
d |
b |
c |
|
d |
d |
c |
b |
а |
1) единичный элемент по операции * ;
2) единичный элемент по операции + ;
3) противоположный
и обратный элемент для каждого элемента
;
4) найти значения выражений:
а)
;
б)
;
в)
.
5) решить систему
;
.
7. Дано множество
.
Задано поле
,
где
|
a |
b |
c |
d |
|
+ |
a |
b |
c |
d |
a |
a |
a |
a |
a |
|
a |
a |
b |
c |
d |
b |
a |
b |
c |
d |
|
b |
b |
a |
d |
c |
c |
a |
c |
d |
b |
|
c |
c |
d |
a |
b |
d |
a |
d |
b |
c |
|
d |
d |
c |
b |
а |
Найти единичные элементы по операциям и +, противоположные элементы для каждого, решить систему:
;
.
8. Доказать единственность единичного элемента в группе.
9. Доказать единственность обратного элемента в группе.
10. Пусть
ассоциативная
операция, заданная на множестве А, такая
что для каждого элемента
существует обратный элемент
.
Доказать, что
.
11. Дано
.
На множестве А заданы преобразования
.
На множестве преобразований
задана операция композиции преобразований
.
Проверить, будет
ли алгебра
полугруппой.
12. Составить
полугруппу с операцией
– композиция преобразований, для которой
множество подстановок
является системой образующих.
Что надо сделать, чтобы эта полугруппа стала моноидом.
13. Пусть S
– множество всех перестановок
.
Определить свойства алгебры
. Будет ли оно группой? Будет ли группа
абелевой?
14. Будет ли алгебра
(B(U),
)
решеткой? Изобразить диаграмму Хасса.
15. Будет ли алгебра
(
)
решеткой? Изобразить диаграмму Хасса.
16. Является ли
решеткой множество целых чисел Z
с операциями
и
,
таких что для любых
выполняется:
,
.
17. Будет ли решеткой множество, диаграмма Хасса которой изображена на рисунке. Почему?
Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3
18. Проверить на примере выполнение условия изоморфизма между алгебрами:
1)
(B(U),
, ┐)
и (
, ┐);
2)
(
, ┐);
(B
(U),
, ┐)
, где
.
19. Определить изоморфны ли алгебры:
1)
и
,
где гомоморфизм задается
;
2)
и
,
где гомоморфизм задается
;
3)
и
,
где гомоморфизм задается
;
4)
и
,
где гомоморфизм задается
;
5)
и
,
где гомоморфизм задается
;
6)
и
,
где гомоморфизм задается
;
7)
и
,
где гомоморфизм задается
;