РОЗДІЛ 1. МАТРИЦІ ТА ВИЗНАЧНИКИ. крамерові СИСТЕМИ РІВНЯНЬ.

Вступ.

При початковому знайомстві з лінійною алгеброю можна вважати, що одним з основних об’єктів вивчення в лінійній алгебрі є система лінійних алгебраїчних рівнянь

(1)

відносно якої необхідно з’ясувати такі питання: 1) при яких умовах система (1) має розв’язки (система сумісна), а при яких не має розв’язків; 2) при яких умовах система (1) має єдиний розв’язок та конструювання методів його знаходження; 3) при яких умовах система (1) має не єдиний розв’язок та опис всіх розв’язків у прийнятній формі. Для всебічного вивчення цих задач необхідний певний інструментарій – теорія матриць, теорія визначників і т.д. Для побудови теорії визначників, зокрема, зручно скористатися поняттями перестановки та підстановки.

У перших чотирьох параграфах цього розділу подаються основні поняття теорії матриць, розглядаються основні властивості перестановок і підстановок та будується теорія визначників. В останньому, п’ятому, параграфі розглядаються найважливіші методи розв’язування системи (1) при умові, що система має єдиний розв’язок. Питання сумісності системи (1) та проблема знаходження всіх її розв’язків у випадку, коли система має не єдиний розв’язок, розглядаються у наступних розділах.

§1. Матриці.

1. Основні поняття та означення. Матрицею називається прямокутна таблиця, заповнена деякими величинами, які будемо називати елементами матриці.

Як правило, елементи матриці позначають однією літерою з двома індексами, де перший індекс визначає номер рядка, в якому міститься даний елемент, а другий – номер стовпчика. Наприклад, - елемент матриці, який лежить на перетині сьомого рядка та четвертого стовпчика. Звідси, - матрицю, тобто матрицю, яка має рядків та стовпчиків, в загальному вигляді можна записати так

.

Матриці позначають великими латинськими літерами, а також часто вживають скорочений запис .

Якщо , то матриця називається квадратною матрицею -го порядку і має вигляд

. (2)

Діагональ квадратної матриці, яка складається з елементів , називається головною діагоналлю. Якщо всі елементи матриці, крім елементів головної діагоналі, є нулями, то матриця називається діагональною. Якщо в діагональній матриці всі елементи головної діагоналі – одиниці, то матриця називається одиничною і позначається літерою , або літерою .

Матриця, всі елементи якої є нулями, називається нульовою матрицею і позначається літерою .

Якщо рядки будь-якої матриці записати стовпчиками, або, що те саме, стовпчики – рядками, то отримана матриця називається транспонованою до матриці і позначається . Зазначимо, що на перетині -того рядка та -того стовпчика матриці стоїть елемент . Іншими словами, якщо , , то .

2. Символ . Для скороченого запису суми використовується позначення , так що

;

при цьому називається знаком суми, а індекс називається індексом сумування.

Легко перевірити, що для знака суми справджуються такі властивості.

1⁰. Індекс сумуваня можна змінювати:

2⁰. Множник, який не залежить від індекса сумування, можна винести за знак суми:

.

3⁰. .

4⁰. Два знаки суми, які стоять поруч, можна переставити місцями:

.

Для доведення цієї властивості досить знайти суму елементів - матриці двома способами. Спочатку для кожного рядка матриці знайдемо суму елементів цього рядка, а потім просумуємо знайдені величини:

Повторивши такі самі міркування для стовпчиків матриці , отримаємо

Звідси,

3. Додавання матриць. Сумою двох - матриць та називається - матриця , кожен елемент якої обчислюється як сума відповідних елементів матриць та за формулою

, , .

Сума матриць та позначається .

У розгорненому вигляді для матриць

,

.

Наголосимо, що операція додавання матриць визначається лише для матриць однакової розмірності – обидві матриці-доданки повинні мати однакову кількість рядків і рівне число стовпчиків. Для матриць, які не задовольняють цієї вимоги, операція додавання не визначається.

Приклад.

.

4. Множення матриці на число. Добутком - матриці на число називається - матриця , кожен елемент якої є добутком відповідного елемента матриці на число

, , .

Добуток матриці на число позначається .

У розгорненому вигляді

.

Якщо, зокрема, , то добуток можна позначити через . Матриця називається протилежною до матриці .

Приклад.

5. Властивості лінійних операцій над матрицями. Операції додавання матриць та множення матриці на число називаються лінійними операціями над матрицями. Лінійні операції над матрицями мають такі властивості:

1⁰.

2⁰.

3⁰.

4⁰.

5⁰.

6⁰.

7⁰.

8⁰. .

Справді, оскільки лінійні операції над матрицями виконуються поелементно і властивості 1⁰-8⁰ справджуються для чисел, то вони справджуються і для матриць. Зазначимо, що символ 1 в записі властивості 5⁰ означає число 1.

Лінійні операції над матрицями дозволяють визначити різницю двох матриць за формулою

.

6. Множення матриць. Нехай задано - матрицю та - матрицю . Добутком матриць та називається - матриця , кожен елемент якої обчислюється за формулою

, , .

Подане означення добутку двох матриць стисло формулюють так: елемент матриці-добутку, який стоїть на перетині -го рядка та -го стовпчика, дорівнює добутку -го рядка першої матриці на -й стовпчик другої матриці.

Наголосимо, що не кожні дві матриці можна перемножити. Дві матриці можна перемножити лише тоді, коли число стовпчиків першої матриці дорівнює кількості рядків другої матриці, або, що те саме, ширина першого співмножника дорівнює висоті другого. При цьому висота матриці-добутку збігається з висотою першого множника, а ширина – з шириною другого. Зокрема, дві квадратні матриці одного й того самого порядку завжди можна перемножити, до того ж матриця-добуток є квадратною матрицею того самого порядку.

Приклади.

1. .

2. .

3. .

7. Властивості множення матриць. У припущенні, що множення матриць можливе, покажемо, що ця операція має такі властивості.

1⁰. .

Властивість підтверджується прикладами 2, 3 попереднього пункту. Зазначимо, що якщо добуток визначений, то добуток не завжди визначений. Може статися, однак, що для деяких матриць та . Такі матриці називаються переставними. Зокрема, одинична матриця переставна з будь-якою квадратною матрицею того самого порядку:

.

Звідси, одинична матриця відіграє роль одиниці при множенні матриць.

2⁰. .

Нехай , ; , , ; , , ; . Тоді всі добутки , , , визначені. Позначимо , , , . Властивість буде доведено, якщо буде встановлено, що .

Знайдемо

,

.

Звідси, , тобто .

3⁰. .

Нехай , ; , , ; , , ; . Позначимо , , , , і знайдемо

,

,

тобто і властивість доведено.

Точно так само доводиться, що .

4⁰. .

Справді,

.

5⁰. .

Розуміється, що обидві матриці та квадратні одного й того самого порядку . Позначимо , , , , . Тоді

,

.

Звідси, , тобто .