6.1 Построение модели по отклонениям от тренда

Пусть имеются два временных ряда х_t и у_t, каждый из которых содержит трендовую компоненту Т и случайную компоненту. Аналитическое выравнивание каждого из этих рядов позволяет найти параметры соответствующих уравнений трендов и опреде­лить расчетные по тренду уровни x_t и у_t соответственно. Эти рас­четные значения можно принять за оценку трендовой компонен­ты каждого ряда. Поэтому влияние тенденции можно устранить путем вычитания расчетных значений уровней ряда из фактичес­ких. Эту процедуру проделывают для каждого временного ряда в модели. Дальнейший анализ взаимосвязи рядов проводят с ис­пользованием не исходных уровней, а отклонений от тренда

и (6.1)

при условии, что последние не содержат тенденции.

Таким образом, сущность рассматриваемого метода в том, что из каждого временного ряда исключается временной тренд, являющийся причиной автокорреляции. Модель (в случае линейного тренда) будет иметь вид:

, (6.2)

где

. (6.3)

Содержательная интерпретация параметров этой модели затруднительна, однако ее можно использовать для прогнозирования. Для этого необходимо определить трендовое значение факторного признака и оценить величину предполагаемого отклонения фактического значения от трендового. Далее по уравнению тренда для результативного признака определяют трендовое значение , а по уравнению регрессии, построенному по отклонениям от трендов, находят величину отклонения . Затем рассчитывают точечный прогноз фактического значения у_t по формуле:

. (6.4)

6.2 Построение модели на основе последовательных разностей

Если временной ряд содержит ярко выраженную линейную тенденцию, то ее можно устранить путем замены исходных уровней ряда цепными абсолютными приростами (первыми разностями).

Поскольку фактические уровни временных рядов и включают тенденцию и , а также случайную компоненту , то каждый из них можно представить в виде (6.5 – 6.6).

(6.5)

(6.6)

Заменив фактические уровни рядов и их первыми разностями и , получим выражения (6.7 – 6.8).

(6.7)

(6.8)

Как видно из (6.7 – 6.8), новые (преобразованные) уровни ряда и не зависят от переменной времени, а определяются коэффициентом b и остатками . Коэффициент b – это константа, не зависящая от времени. Остатки при наличии сильной линейной тенденции будут достаточно малы и согласно одной из предпосылок МНК - случайны. Таким образом, первые разности уровней ряда и не содержат тенденции. Следовательно, их можно использовать для моделирования и прогнозирования.

Если временные ряды и содержат нелинейную тенденцию, к примеру, в форме полинома 2-ой степени, то для ее устранения фактические уровни рядов можно заменить их вторыми разностями и . Покажем, что замена фактических уровней ряда первыми разностями не позволяет устранить нелинейную тенденцию.

Полином 2-ой степени, рассчитанный по уровням временных рядов и имеет вид (6.9 – 6.10):

(6.9)

(6.10)

Тогда первые разности можно записать в виде (6.11 – 6.12):

(6.11)

(6.12)

Как видно из (6.11 – 6.12), первые разности непосредственно зависят от времени, а, значит, содержат тенденцию.

Найдем вторые разности (6.13 – 6.14):

(6.13)

(6.14)

Из выражений (6.13 – 6.14) видно, что вторые разности уже не содержат тенденции. Таким образом, при наличии во временных рядах нелинейной тенденции в форме полинома 2-ой степени, для дальнейшего анализа и прогнозирования используют уровни ряда, преобразованные во вторые разности.

При наличии тенденции в виде экспоненциального тренда метод последовательных разностей применяется не к исходным уровням ряда, а к их логарифмам.

При всей своей простоте метод последовательных разностей имеет два существенных недостатка. Во-первых, его применение связано с уменьшением количества наблюдений, по которым строится уравнение регрессии, а следовательно, с потерей числа степеней свободы. Во-вторых, использование вместо исходных уровней рядов их приростов или ускорений приводит к потере информации, содержащейся в исходных данных.