Паросочетания в двудольных графах

Пусть – двудольный граф c долями A и B, М – паросочетание в G. Всякий увеличивающий путь, если такой имеется, соединяет вершину из множества A с вершиной из B. Поэтому при поиске увеличивающего пути достаточно рассматривать чередующиеся пути, начинающиеся в свободных вершинах из доли А.

Зафиксируем некоторую свободную вершину . Дерево Т с корнем в вершине a назовем деревом достижимости для вершины а, если

1) Т является подграфом графа ;

2) каждый путь в дереве Т, начинающийся в корне, является чередующимся путем;

3) Т – максимальное дерево со свойствами 1) и 2).

Дерево достижимости определено не однозначно, но любое такое дерево в двудольном графе обладает следующим свойством.

Теорема о дереве достижимости. Пусть G – двудольный граф с заданным паросочетанием, Т – дерево достижимости для вершины а. Вершина x принадлежит дереву Т тогда и только тогда, когда в графе существует чередующийся путь, соединяющий вершины a и x.

Для построения дерева достижимости можно использовать слегка модифицированный поиск в ширину из вершины a. Отличие от стандартного поиска в ширину состоит в том, что для вершин из доли А (они находятся на четном расстоянии от вершины а) исследуются инцидентные им слабые ребра, а для вершин из доли В – сильные. Если в дереве появляется отличная от а свободная вершина b, это означает, что найден увеличивающий путь – это путь между а и b в дереве. Выполнив инверсию, получим большее паросочетание. После этого, если в доле А еще имеются свободные вершины, возобновляется поиск увеличивающего пути (т.е. строится новое дерево достижимости).

Если дерево построено и в нем нет других свободных вершин, кроме корня, то нужно выбрать другую свободную вершину в доле А (если такие еще есть) и строить дерево достижимости для нее. Если деревья достижимости для всех свободных вершин из А построены, а увеличивающий путь не найден, то имеющееся паросочетание является наибольшим.

Допустим, дерево достижимости для вершины а построено и выяснилось, что нет увеличивающих путей, начинающихся в а. Затем было построено дерево достижимости с другим корнем, найден увеличивающий путь и построено увеличенное паросочетание. Нужно ли строить дерево достижимости для вершины а относительно нового паросочетания? Оказывается, нет. Назовем свободную вершину бесполезной для данного паросочетания, если нет увеличивающих путей, начинающихся в этой вершине. Пусть – паросочетание, полученное из паросочетания М инверсией относительно некоторого увеличивающего пути.

Утверждение. Если вершина а бесполезна для паросочетания М, то она бесполезна и для паросочетания .

Таким образом, каждая вершина может выступать в качестве корня дерева достижимости не более одного раза, т.е. всего будет построено не более n деревьев. Построение одного дерева выполняется за время и общее время работы алгоритма оценивается как .

Независимые множества в двудольных графах

Описанный метод построения наибольшего паросочетания называют методом чередующихся путей. Он может применяться и для решения других задач. Рассмотрим задачу о независимом множестве. Она трудна в общем случае, но для двудольных графов допускает достаточно быстрое решение с помощью метода чередующихся путей.

Пусть – двудольный граф с долями А и В и требуется найти в нем наибольшее независимое множество. Найдем сначала наибольшее паросочетание М в этом графе. Пусть и соответственно множества свободных вершин в долях А и В. Найдем все вершины из А, достижимые чередующимися путями из , пусть – множество всех таких вершин. Аналогично, пусть – множество все вершин из В, достижимых чередующимися путями из . Обозначим через множество всех вершин из А, не достижимых чередующимися путями ни из , ни из (см. рисунок 10). Вершины из не смежны с вершинами из , так как иначе образовался бы увеличивающий путь. Вершины из тоже не смежны с вершинами из , иначе они были бы достижимы из . Значит, – независимое множество. Оно содержит все свободные вершины и по одной вершине из каждого ребра паросочетания. Отсюда следует, что это независимое множество – наибольшее. Паросочетание М состоит из ребер, а свободных вершин имеется ровно . Следовательно, . Так как , то справедливо следующее утверждение.