§3 Дробово-лінійна функція. Властивості і відображення здійснювані нею

Функція виду , де і називається дробово-лінійною. Розглянемо частковий випадок цієї функції, коли . Тоді будемо мати функцію , яку природно називати лінійною. Найближчою нашою метою є встановлення характеру відображення, що здійснюються цією функцією.

Оскільки випадок нецікавий, то вважатимемо, що . При будемо мати, що , а це є паралельне перенесення комплексної площини на себе на вектор . При цьому, як ми знаємо з геометрії, зберігаються не тільки кути, а й відстані. Ясно, що нескінченно віддалена точка відображається сама в себе. Тому це відображення є конформним ( ) відображенням розширеної комплексної площини на себе.

Нехай . Спробуємо знайти таке комплексне число , щоб відображення можна було переписати у вигляді . Таке можна знайти, в нашому випадку . Знайдемо похідну: . Таким чином похідна в кожній точці є сталою і відмінною від 0. Тоді в цьому випадку це відображення буде гомотетією з коефіцієнтом і центром в точці і поворотом відносно точки на кут, що дорівнює . Очевидно це відображення буде взаємо однозначним відображенням розширеної комплексної площини на себе і звісно конформним. Причому всі вектори в будь-якій точці будуть повертатися на один і той же кут.

Нехай тепер . Розглянемо відображення ( ). Це відображення кожну скінченну точку -площини, крім точки переводить в скінченну точку -площини, причому переводить однозначно. Неважко перевірити, що кожне скінченне значення , крім досягається лише при одному значенні . Ясно, що

, .

Тому можна вважати, що це відображення нескінченно віддалену точку переводить в точку (поряд з цим з - площини ніяких скінченних прообразів не має) і точку -площини переводить в - площини (і нескінченно віддалена точка ніяких інших прообразів в -площині не має). Все це дозволяє стверджувати, що дробово-лінійне відображення ( ) взаємно однозначно відображає розширену комплексну площину на себе.

З ’ясуємо чи це відображення буде конформним. Для цього достатньо перевірити чи існує , .

.

існує в довільній точці - площини крім точки . Оскільки , то існує всюди крім точки і в кожній точці . А це означає, що дробово-лінійне відображення є конформним відображенням розширеної комплексної площини на себе. В цьому твердженні слід уточнити дві речі: що робиться з кутами між кривими, які виходять з точки - площини (адже в цій точці похідної нема і значить про конформність тут поки що говорити не приходиться), а також що розуміти під кутом між двома кривими в нескінченно віддаленій точці.

Нехай і дві криві, які виходять з точки - площини (рис. 10а). Оскільки точку відображення переходить в нескінченно віддалену точку, то образом кривих і будуть деякі криві і , які виходять з нескінченно віддаленої точки (рис. 10б). Що розуміти під кутом між кривими і . Домовимось під кутом між двома кривими і в нескінченно віддаленій точці розуміти кут між образами цих кривих і в точці 0 при відображенні (рис. 10в). Тоді подивимось на відображення - площини в

- площину. Будемо мати . Оскільки це відображення є дробово-лінійним і в точці існує відмінна від 0 похідна, то воно є конформним в цій точці і значить кути між кривими і та і будуть рівними. А це все означає, згідно з нашою домовленістю, що і в точці це відображення не змінює кутів. Міркуючи аналогічно ми покажемо, що це відображення не змінюватиме кути між кривими, які виходять з нескінченно віддаленої точки -площини. Порівнявши це відображення з лінійним відображенням (див. ), можна зауважити, що на відміну від лінійного, де всі криві незалежно від точки в площині повертаються на один і той же кут , тут криві будуть повертатися на кут , який буде змінюватися із зміною точки . Проте і тут є одна особливість. Для її з’ясування дещо перетворимо нашу похідну

.

Тоді аргумент цієї похідної буде . З цього зображення видно, що якщо точки лежать на промені, який виходить з точки , то є сталою величиною для всіх точок цього променя. А це означає, що всі криві, які виходять з точок цього променя, повертають при відображенні на один і той же кут. Можна також скористатися геометричним змістом модуля похідної і побачити, що коефіцієнт розтягу тут також буде змінюватися від точки до точки, хоча і тут є множини, де цей коефіцієнт буде сталим (зокрема на одній з них він буде дорівнювати 1).