2.3.2 Критерий Колмогорова-Смирнова

Этот критерий используется тогда, когда теоретическое распределение непрерывной случайной величины заранее полностью определено (известны вид распределения и его параметры). Пусть - статистическая функция распределения, а - теоретическая, полностью известная. Возьмем в качестве меры уклонения (расстояния) от величину

,

где для дискретного вариантного ряда и вычисляется в точке для интервального вариационного ряда. Известно (Колмогоров), что, если непрерывна, то для любого z>0 и при

,

где K(z) – распределение Колмогорова. При больших "n" и заданным уровнем значимости "α" находим

, , .

И, если , то Н₀ (случайная величина имеет распределение ) не отклоняется.

P.S.1 Во многих статистических пакетах проверка любых ненулевых гипотез осуществляется по иной схеме, эквивалентной нашей. Вычисляется ; вычисляется наблюденная значимость нулевой гипотезы

,

которая сравнивается с заданной значимостью α. Если , то Н₀ не отклоняется. Например, в рассматриваемой задаче

,

где

P.S.2 В некоторых источниках под K(z) понимают

В этом случае

, .

P.S.3 Знание z_α позволяет построить "интервальную" оценку для

.

2.3.3 Критерий w2 (критерий Мизеса)

Так же, как и в критерии Колмогорова рассматривается мера уклонения эмпирического (статистического) распределения от теоретического полностью известного распределения , но в отличии от критерия Колмогорова, где учитывается лишь максимальное отклонение, в критерии w² учитываются отклонения по всем наблюдением. В качестве статистики рассмотрим

.

Известно, что при и для любого z>0 ,

где A(z) – распределение критерия Мизеса.

Далее построение критической области или нахождение α_набл производится по обычной схеме.

P.S. Критерий Мизеса применяют к индивидуальным, а не сгруппированным данным при анализе непрерывных случайных величин.

2.3.4 Частные критерии для проверки нормального закона распределения признака в генеральной совокупности.

В качестве критической статистики берут выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесс. Тогда нулевая гипотеза о нормальном распределении признака может быть формально записана:

Н₀: As=0, а альтернативная гипотеза H₁: As 0,

или

Н₀: Ех=3, а альтернативная гипотеза Н₁: Ех 3.

Выборочные статистики As^* и Ex^* записываются с помощью выборочных центральных моментов соответствующего порядка:

Существуют таблицы критических значение As^* и Ex^* для различных уровней значимости, что позволяет легко строить критические области.

2.4 Оценки мощности критерия

Согласно определению нам необходимо определить вероятность того, что нулевая гипотеза Н₀ будет отвергнута, если верна конкурирующая гипотеза Н₁. Покажем, на примере, каким образом можно найти , где β - вероятность совершить ошибку второго рода.

Пусть проверяется гипотеза о значении генеральной средней нормально распределенной совокупности, дисперсия которой неизвестна. Гипотезы Н₀: а=а₀; Н₁: а=а₁ и для определенности а₁>а₀. Как всегда - выборочная оценка для а, S² – выборочная оценка для . Используя статистику , имеющую, в предположении справедливости Н₀, распределение Стьюдента с степенями свободы, находим t_кр для правосторонней критической области из уравнения:

,

Нас интересует вероятность при условии справедливости гипотезы Н₁ и зафиксированном t_кр:

здесь имеет распределение Стьюдента с с степенями свободы, если справедлива Н₁. Тогда мощность критерия

(2.7)

Величину называют расстоянием между гипотезами. Задавшись величиной β – вероятностью совершить ошибку второго рода, можно определить объем выборки, необходимый для того, чтобы при уровне значимости α ошибка второго рода равнялась бы β.

Из (2.7) находим

Обозначим t=t_2-2β значение аргумента, при котором

,

откуда

,

(2.8)

13