2.2.2 Проверка гипотезы о значении генеральной средней при неизвестной дисперсии

Пусть и S² – оценки генеральной средней и дисперсии нормально распределенной генеральной совокупности. Для проверки нулевой гипотезы Н₀: а=а₀, при альтернативной Н₁: а=а₁, построим статистику

,

которая в случае справедливости гипотезы Н₀ имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. Тогда: при строим правостороннюю критическую область из уравнения

,

находим, используя функцию .

;

, ;

и, если , то Н₀ не отвергаем.

При строим левостороннюю критическую область из уравнения

,

откуда

;

, ;

сравнивая с , принимаем решение:

при незаданном а₁ и альтернативной гипотезе Н₁: , строим двустороннюю критическую область.

, , ;

, , ;

следовательно Н₀ не отвергается, если .

2.2.3 Проверка гипотезы о значении дисперсии генеральной совокупности

Пусть из генеральной совокупности , взята случайная выборка объемом "n", по которой найдены оценки для а и S² для . Требуется проверить нулевую гипотезу Н₀: , при альтернативной Н₁: или , где , - предполагаемые значения дисперсии. Для проверки гипотезы Н₀ воспользуемся статистикой

,

распределенной по закону хи-квадрат с степенями свободы (см. выше).

При строим правостороннюю критическую область исходя из уравнения

,

, ;

если , то Н₀ принимается.

При строим левостороннюю критическую область из уравнения

,

,

, ,

и сравнивая с принимаем решение. При Н₁: строим двустороннюю критическую область из уравнений

, , ,

, , ,

если теперь , то Н₀ не отвергается.

2.2.4 Проверка гипотезы о равенстве генеральных средних двух генеральных совокупностей (об однородности средних).

2.2.4.1 При известных генеральных дисперсиях

Пусть Х и Y – нормально распределенные генеральные совокупности с известными дисперсиями и и неизвестными математическими ожиданиями а_х и а_у. Из генеральных совокупностей взяты две независимые выборки объемом n_х и n_у и найдены выборочные оценки для а_х и для а_у. Требуется проверить гипотезу Н₀: при одной из альтернативных гипотез Н₁: или , или .

Рассмотрим случайную величину:

.

Из чего следует, что если гипотеза Н₀ верна, то статистка

.

Если Н₁: , то строим правостороннюю критическую область:

, , , .

Если Н₁: , то строим левостороннюю критическую область:

, , , .

Если Н₁: , то строим двустороннюю критическую область:

, , ;

, ,

2.2.4.2 При неизвестных генеральных дисперсиях

Будем исходить, теперь, из того, что , но σ не известно. Пусть - оценка для и - оценка для , - оценка для , - оценка для . Выдвинем нулевую гипотезу Н₀: при альтернативной Н₁: . Для проверки Н₀ предварительно построим статистику. В силу того, что и при условии справедливости Н₀

Оценки и

Так как в силу теоремы Фишера

, ,

то

,

а из этого следует, что статистика

имеет распределение Стьюдента с - степенями свободы. Найдем границы двусторонней критической области по аналогии с предыдущими случаями.

2.2.5 Проверка гипотезы о равенстве дисперсий генеральных совокупностей (однородности ряда дисперсий).

2.2.5.1 Случай двух генеральных совокупностей.

Пусть - генеральные совокупности. Из этих совокупностей извлечены независимые выборки объемом и , по которым найдены несмещенные оценки и для и - соответственно. Для определенности будем считать . Требуется проверить гипотезу Н₀: против альтернативной гипотезы Н₁: .

Выше отмечалось, что

и ,

тогда при выполнении нулевой гипотезы статистика имеет распределение Фишера-Снедекора (F-распределение) с и степенями свободы. Для проверки гипотезы строим правостороннюю критическую область из уравнения

,

использую таблицы находим и если , то Н₀ – считается не противоречащей выборочным данным, а иначе Н₀ отвергается.