§4.2. Зависимости амплитуды вынужденных колебаний и сдвига фаз от частоты внешнего воздействия. Резонанс.

1. Вернемся к механической системе пружинного маятника, на который действует внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону. Для такой системы дифференциальное уравнение и его решение соответственно имеют вид:

, .

Проанализируем зависимость амплитуды колебаний и сдвига фаз от частоты внешней вынуждающей силы, для этого найдем первую и вторую производную от х и подставим в дифференциальное уравнение.

,

,

Воспользуемся методом векторной диаграммы. Из уравнения видно, что сумма трех колебаний в левой части уравнения (Рисунок 4.1) должна быть равна колебанию в правой части. Векторная диаграмма выполнена для произвольного момента времени t. Из нее можно определить .

Рисунок 4.1

,

.

Учитывая значение , , , получим формулы для φ₀ и А_ампл. механической системы:

,

.

2. Исследуем зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы и величины силы сопротивления в колеблющейся механической системе, по этим данным построим график . Результаты исследования отражены в Рисунке 4.2, по ним видно, что при некоторой частоте вынуждающей силы амплитуда колебаний резко возрастает. И это возрастание тем больше, чем меньше коэффициент затухания β. При амплитуда колебаний становится бесконечно большой .

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при частоте вынуждающей силы, равной , называется резонансом.

Кривые на Рисунке 4.2 отражают зависимость и называются амплитудными резонансными кривыми.

Рисунок 4.2 – Графики зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы.

3. Используем данные об амплитуде и сдвиге фаз вынужденных колебаний для механической системы и выразим эти же характеристики для аналогичных величин электромагнитной системы (LCR– контур с включенным в его цепь внешним источником ЭДС, величина которой изменяется по гармоническому закону):

,

.

5. Сила тока при установившихся в контуре колебаниях равна:

,

где - амплитуда силы тока, ψ₀ – сдвиг фаз между силой тока и внешнейЭДС в контуре. Амплитуда силы тока и ψ₀ находятся по формулам:

,

, .

График зависимости представлен на Рисунке 4.3.

Рисунок 4.3