§2.2. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.
1. Модель, на которой можно продемонстрировать сложение взаимно перпендикулярных колебаний, представлена на Рисунке 2.3. Маятник (материальная точка массой m) может совершать колебания по осям ОХ и ОУ под действием двух сил упругости, направленных взаимно перпендикулярно.
Рисунок 2.3
Складываемые колебания имеют вид:
.
Частоты
колебаний определяются как
,
,
где
,
-коэффициенты
жесткости пружин.
2.
Рассмотрим случай сложения двух взаимно
перпендикулярных колебаний с одинаковыми
частотами
,
что соответствует условию
(одинаковые пружины). Тогда уравнения
складываемых колебаний примут вид:
Когда точка участвует одновременно в двух движениях, ее траектория может быть различной и достаточно сложной. Уравнение траектории результирующего колебаний на плоскости ОХУ при сложении двух взаимно перпендикулярных с равными частотами можно определить, исключив из исходных уравнений для х и y время t:
.
Вид траектории определяется разностью начальных фаз складываемых колебаний, которые зависят от начальных условий (см. § 1.1.2). Рассмотрим возможные варианты.
а)
Если
,
где n = 0, 1, 2…, т.е. складываемые колебания
синфазные, то уравнение траектории
примет вид:
(Рисунок
2.3 а).
|
|
Рисунок 2.3.а |
Рисунок 2.3 б |
б)
Если
(n
= 0, 1, 2 …), т.е. складываемые колебаний
находятся в противофазе, то уравнение
траектории записывается так:
(Рисунок
2.3б).
В обоих случаях ( а, б) результирующее движение точки будет колебание по прямой, проходящей через точку О. Частота результирующего колебания равна частоте складываемых колебаний ω0, амплитуда определяется соотношением:
.
Угол, который прямая (траектория) составляет с осью ОХ, можно найти из уравнения:
(знак
“плюс” – случай а, знак “минус” –
случай б).
Результатом сложения взаимно перпендикулярных колебаний (случай а и б) является колебание, которое называется линейно поляризованным.
в)
Если
(n
= 0, 1, 2 …), то уравнение траектории
результирующего движения примет вид:
.
Это
уравнение эллипса, его оси совпадают с
осями координат ОХ и ОУ, а размеры его
полуосей равны
и
(Рисунок
2.4 ).
Рисунок 2.4
Точка
в результате участия в двух взаимно
перпендикулярных колебаниях описывает
эллипс за время, равное периоду
складываемых колебаний
.
3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний с кратными частотами.
Складываются
взаимно перпендикулярные колебания,
частоты которых не равны
,
но
,
,
где a и b – целые числа.
Периоды
колебаний вдоль осей ОХ и ОУ соответственно
равны
и
.
Отношение периодов
.
Траектория точки, участвующей во взаимно перпендикулярных колебаниях с кратными частотами, - замкнутая кривая, форма которой зависит от соотношения амплитуд, частот и начальных фаз складываемых колебаний. Такие замкнутые траектории называются фигурами Лиссажу.
Глава 3. Затухающие колебания.
Затуханием колебаний называется постепенное уменьшение амплитуды колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой.
Собственные колебания без затухания – это идеализация. Причины затухания могут быть разные. В механической системе к затуханию колебаний приводит наличие трения. В электромагнитном контуре к уменьшению энергии колебаний приводят тепловые потери в проводниках, образующих систему. Когда израсходуется вся энергия, запасенная в колебательной системе, колебания прекратятся. Поэтому амплитуда затухающих колебаний уменьшается, пока не станет равной нулю.
Затухающие колебания, как и собственные, в системах, разных по своей природе, можно рассматривать с единой точки зрения – общих признаков. Однако, такие характеристики, как амплитуда и период, требуют переопределения, а другие – дополнения и уточнения по сравнению с такими же признаками для собственных незатухающих колебаний. Общие признаки и понятия затухающих колебаний следующие:
Дифференциальное уравнение должно быть получено с учетом убывания в процессе колебаний колебательной энергии.
Уравнение колебаний – решение дифференциального уравнения.
Амплитуда затухающих колебаний зависит от времени.
Частота и период зависят от степени затухания колебаний.
Фаза и начальная фаза имеют тот же смысл, что и для незатухающих колебаний.