2.5.Построение логарифмических частотных характеристик

При синтезе автоматических систем широко используют логарифмические частотные характеристики: амплитудно-частотную (ЛАЧХ) и фазочастотную (ЛФЧХ).

При построении ЛАЧХ по оси абсцисс откладывают частоту в логарифмическом масштабе. Это означает, что наносят отметки, соответствующие но около отметок указывают значения частоты

Отрезок оси абсцисс, соответствующий изменению частоты в 10 раз, называется декадой, а отрезок, который соответствует изменению частоты в два раза, - октавой.

По оси ординат ЛАЧХ откладывают при равномерной масштабе логарифмическую амплитуду

дБ.

Нуль логарифмической амплитуды соответствует

Нуль оси абсцисс лежит слева в бесконечности, так как и тем самым ось ординат может пересекать ось абсцисс в любой точке. Эту точку выбирают так, чтобы график охватывал нужный диапазон частот.

У ЛФЧХ такая же ось абсцисс, а по оси ординат в равномерном масштабе откладывают фазу в градусах (или радианах).

ЛФЧХ строят обычно под ЛАЧХ с тем, чтобы изменение фазы можно было сопоставить с изменением амплитуды. оси абсцисс ЛАЧХ и ЛФЧХ можно совмещать.

Логарифмические частотные характеристики удобны тем, что достаточно компактным графиком может быть охвачен широкий диапазон частот. При этом одинаково наглядно изменение частотных свойств как на малых, так и на средних и высоких частотах. Небольшим графиком охватывается и широкий диапазон изменения амплитуды с одинаковой наглядностью изменения больших и малых амплитуд.

Кроме того, оказывается, что значительные участки ЛАЧХ с большой точностью могут быть заменены прямыми линиями - асимптотами. Они имеют отрицательный или положительный наклон, кратный 20 дБ/дек, т.е. 0 дБ/дек, -20 дБ/дек, -40 дБ/дек,..., а также +20 дБ/дек, +40 дБ/дек, ... .

В большинстве случаев оказывается возможным пренебречь кривизной ЛАЧХ на отдельных небольших участках частот. Тогда ЛАЧХ изображается отрезками прямых (асимптотами) и называется асимптотической ЛАЧХ. Для ее построения нужны лишь весьма простые вычисления.

Наиболее характерный вид имеют ЛАЧХ при следующих значениях модуля частотной передаточной функции.

1) В этом случае есть постоянная величина и ЛАЧХ представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс (рис. 4).

2 ) В этом случае При имеем и на протяжении одной декады (с увеличением в 10 раз) уменьшается на 20 дБ. ЛАЧХ представляет собой прямую с наклоном -20 дБ/дек, которая проходит через точку B с координатами , что представлено на рис. 5.

3) В этом случае Так же как и в предыдущем случае, при имеем . Затем, с увеличением увеличивается и на 20 дБ/дек. ЛАЧХ есть прямая с наклоном +20 дБ/дек, которая проходит через точку с координатами B с координатами что представлено на рис. 6.

4) В этом случае При малых частотах, для которых имеем Это высокочастотная асимптота, которая уменьшается на 20 дБ/дек. Следовательно, асимптотическая ЛАЧХ образуется двумя асимптотами, которые сопрягаются при частоте так при частоте удовлетворяются уравнения обеих асимптот, что представлено на рис. 7.

5) В этом случае выражение для ЛАЧХ Как и в предыдущем случае, асимптотическая ЛАЧХ составляется двумя асимптотами, которые сопрягаются при частоте но высокочастотная составляющая имеет положительный наклон, что представлено на рис. 8.

6) где В данном случае имеем выражение На малых частотах и на высоких частотах Асимптотическая ЛАЧХ, как и в двух предыдущих случаях. составляется двумя асимптотами, которые сопрягаются при частоте Низкочастотная асимптота параллельная оси абсцисс, а высокочастотная имеет отрицательный наклон и уменьшается на 40дБ/дек, что представлено на рис. 9.

7) где В этом случае имеем выражение Асимптотическая ЛАЧХ опять составляется двумя асимптотами, которые сопрягаются при частоте Низкочастотная асимптота параллельная оси абсцисс, а высокочастотная имеет положительный наклон - увеличивается на 40 дБ/дек, что представлено на рис.10.

Представим методику построения исходной логарифмической частотной характеристики для автоматической системы, рассматриваемой в курсовом проекте. На основании передаточной функции разомкнутой АСР вида (14) или (15) вычисляем высоту подъема ЛАЧХ по оси ординат на низких частотах

Сопрягающие частоты для автоматической системы третьего порядка с передаточной функцией (14) определяются как

Для автоматической системы, которая в своем составе имеет колебательное звено, т.е. ее передаточная функция вида (15), сопрягающие частоты

Для последнего случая приближенная ЛАЧХ представляется тремя прямыми: с наклоном 0 дБ/дек до частоты с наклоном -40 дБ/дек после частоты сопряжения и с наклоном -60 дБ/дек после частоты

Желаемая ЛАЧХ определяется показателями качества процессов регулирования, которые в свою очередь зависят от вида ЛАЧХ и ЛФЧХ в диапазоне средних частот.

Запас устойчивости по фазе определяет величину перерегулирования

Отсюда при заданной величине перерегулирования запас по фазе можно вычислить по формуле

Желаемая частота среза для автоматической системы разрабатываемого класса может быть ориентировочно оценена в зависимости от требований к быстродействию автоматической системы как

где коэффициент может быть выбран из достаточно широкого диапазона

После вычисления с использованием характеристики проверяется её соответствие требованиям к перерегулированию в системе. Если проверка указывает на то, что при выборе значений коэффициента в формуле (30) в указанном диапазоне требования к запасу по фазе не выполняются, необходимо использовать более точные методы построения желаемой ЛАЧХ с использованием номограммы В.В. Солодовникова [1].

Покажем на примере методику построения желаемой ЛАЧХ для системы с не скорректированными логарифмическими характеристиками для синтезируемой системы, которая должна обеспечить: допускаемое перерегулирование - время регулирования -

Определяем запас по фазе

Желаемая частота среза

Проверяем соответствие полученного значения требованиям к запасу по фазе Для этого проводим горизонтальную прямую от точки до пересечения с кривой а затем вертикальную линию из этой точки пересечения до оси абсцисс. Полученное значение частоты среза несколько больше расчетного, что допускается.

Строим желаемую ЛАЧХ, которую обозначим как . Через найденную точку с проводим прямую с наклоном -20дБ/дек в сторону низких частот до точки так чтобы запас по амплитуде на этой частоте был не менее 12 дБ, а в сторону высоких частот до точки так, чтобы запас по амплитуде был в этой точке не менее 10 дБ.

Для упрощения схемы корректирующего звена излом ЛАЧХ в низкочастотной области делаем на частоте и далее продолжаем ЛАЧХ отрезком прямой под наклоном -40 дБ/дек до пересечения с исходной ЛАЧХ. В высокочастотной части излом в точке при 10 дБ и наклон после точки устанавливаем -40 дБ/дек, а после точки -60 дБ/дек. Точка выбирается произвольно, но желательно, чтобы диапазон частот между точками и был не меньше декады.

Вычитая из желаемой ЛАЧХ исходную получим логарифмическую амплитудно-частотную характеристику корректирующего устройства