2.2.Разработка структурной схемы автоматической системы

В нашем случае разрабатываемую автоматическую систему можно разбить на пять звеньев: электродвигатель, усилительное устройство, тахогенератор, регулятор скорости и компрессор (рис. 2).

Рис. 2.

Однако следует иметь в виду, что динамические звенья не полностью соответствуют конструктивным элементам автоматической системы. Так, при расчете электромеханической постоянной времени учитывается момент инерции не только якоря двигателя, но и момент инерции всех вращающихся конструктивных элементов, соединенных с валом двигателя и приведенных к якорю.

Для расчетов номинальная скорость вращения двигателя

Коэффициент передачи электродвигателя по каналу "напряжение якоря - скорость вращения" определяется как

Электромагнитная постоянная времени якорной цепи двигателя равна

Электромеханическая постоянная времени двигателя

Найденные значения и сравниваются. Если , то электродвигатель представляет колебательное звено с передаточной функцией

При электродвигатель можно представить как апериодическое звено второго порядка

где постоянные времени и вычисляются по формулам

При часто пренебрегают и представляют двигатель как апериодическое звено первого порядка.

Так как устройство усиления имеет инерционность, которая пренебрежимо мала в сравнении с инерционностями остальных элементов АСР, то его передаточная функция может принята как

,

где берется исходя из задания.

Передаточная функция компрессора

где и берутся из задания на курсовое проектирование.

На основании полученных передаточных функций строится структурная схема АСР, представленная на рис. 3.

Рис. 3.

Примечание. Поскольку коэффициент передачи тахогенератора равен единице, то в дальнейшем обратную связь можно показывать как единичную связь без тахогенератора.

При расчетах величин постоянных времени и коэффициентов передач численные значения следует округлять до третьей значащей цифры после запятой (до тысячных).

2.3.Статический расчет системы

Относительное отклонение регулируемой величины в разомкнутой системе, вызванное изменение ее нагрузки от нуля до номинальной

Требуемый коэффициент передачи системы по условию обеспечения заданной статической точности регулирования скорости в требуемом диапазоне её изменения

Требуемый коэффициент передачи регулятора (коэффициент усиления корректирующего устройства вместе с промежуточным усилителем) определяется по формуле

2.4.Исследование устойчивости системы

На основании полученной структурной схемы передаточная функция разомкнутой автоматической системы без коррекции её динамических свойств

при

при

Передаточная функция замкнутой автоматической системы с единичной отрицательной обратной связью для первого случая, представленного выражением (14)

Для второго случая, представленного выражением (15) передаточная функция замкнутой автоматической системы

При анализе автоматической системы на устойчивость могут быть использованы различные критерии. В курсовом проекте необходимо исследовать автоматическую систему, применяя три критерия устойчивости: критерий устойчивости Гурвица, критерий устойчивости Рауса и критерий Михайлова или критерий устойчивости Найквиста.

Представим методику применения каждого из указанных критериев устойчивости.

Критерий Гурвица. Для оценки устойчивости по критерию Гурвица необходимо характеристическое уравнение той автоматической системы, которая исследуется на устойчивость. В общем виде такое уравнение может быть записано

и из его коэффициентов составим таблицу

По диагонали таблицы от левого верхнего угла выписывают по порядку все коэффициенты, начиная с и заканчивая Затем каждый столбец таблицы дополняют так, чтобы вверх от диагонали индексы коэффициентов увеличивались, а вниз - уменьшались. В случае отсутствия в характеристическом уравнении какого-либо коэффициента и вместо коэффициентов с индексом меньше нуля и больше пишут нуль.

Критерий можно сформулировать так: система устойчива, если при положительны и определителей Гурвица, получаемых из (19), т.е.

Это необходимое и достаточное условие устойчивости.

Предпоследнее неравенство в (20) есть и по этому последнее неравенство сводится к

Система находится на границе устойчивости, если и все предыдущие определители Гурвица положительны. Условие распадается на два: (апериодическая граница устойчивости, нейтральная устойчивость) или (колебательная граница устойчивости).

По критерию Гурвица для устойчивости должны удовлетворяться следующие неравенства:

система третьего порядка

система четвертого порядка

Пример. Составить условие устойчивости одноконтурной системы, которая состоит из трех апериодических звеньев.

Передаточная функция разомкнутой системы

где коэффициент усиления разомкнутой системы; и постоянные времени апериодических звеньев.

Характеристическое уравнение замкнутой автоматической системы

или

где

Характеристическое уравнение третьей степени и всего коэффициенты положительные. Для устойчивости еще должно удовлетворяться последнее из неравенств (21). В данном примере оно может быть приведено к следующему виду

Критерий Рауса. Применение критерия требует составления таблицы Рауса (таблица 1). Элементами ее первой строки являются четные коэффициенты характеристического уравнения исследуемой автоматической системы

начиная с Элементы второй строки - нечетные коэффициенты, начиная с

Элементы последующих строк вычисляют по приведенным в таблице 1 формулам, причем перед вычислением элементов какой-либо й строки необходимо предварительно вычислить коэффициент Всего в таблице заполняют строк.

Таблица 1

Вспомогательные коэффициенты	№ строки	№ столбца
		1	2	3	
—	1				
—	2				
	3				
	4				
					

Критерий формулируют следующим образом: система устойчива, если все элементы первого столбца таблицы Рауса имеют одинаковый знак. Обычно характеристическое уравнение приводят к такому виду, когда Тем самым, для устойчивости автоматической системы все остальные элементы первого столбца должны быть положительными При наличии отрицательных элементов в первом столбце таблицы Рауса автоматическая система неустойчива. Число таких элементов равно числу корней характеристического уравнения с положительной вещественной частью.

Если один из элементов первого столбца равен нулю, а остальные его элементы положительные, система на границе устойчивости - характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней.

При равенстве нулю последнего го элемента или последних элементов первого столбца автоматическая система также на границе устойчивости - характеристическое уравнение имеет соответственно один или нулевых корней.

Составляя таблицу Рауса, расчет можно закончить сразу же после появления нулевого или отрицательного элемента в первом столбце. В этом случае уже можно сделать вывод, что система на границе устойчивости или неустойчивости.

Критерий Михайлова. Частотный критерий устойчивости Михайлова позволяет судить об устойчивости исследуемой системы по годографу характеристического вектора (кривой Михайлова).

Характеристический вектор получается из характеристического полинома

путем формальной замены на

где

Кривая Михайлова это есть кривая, которую описывает конец вектора на комплексной плоскости при изменении от 0 до . Кривая Михайлова начинается при на вещественной оси в точке и при уходит в бесконечность в соответствующем квадранте. Угол поворота характеристического вектора определяется следующим выражением

где степень характеристического полинома; число корней характеристического полинома с положительной вещественной частью.

Следовательно, для устойчивости замкнутой автоматической системы го порядка необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты от 0 до  кривая Михайлова начиналась на положительной вещественной полуоси и обошла в положительном направлении (против часовой стрелки) последовательно квадрантов.

Отметим, что при четном кривая Михайлова уходит в бесконечность вдоль оси и при нечетном вдоль оси

Если автоматическая система находится на границе устойчивости, то кривая Михайлова проходит через начало координат так, что после небольшой ее деформации около начала координат критерий удовлетворяется.

Критерий Найквиста. Частотный критерий Найквиста дает возможность определить устойчивость замкнутой системы по амплитудно-фазовой частотной характеристике её разомкнутой системы.

Предварительно должна быть определена устойчивость исследуемой системы в разомкнутом состоянии. Для неустойчивой разомкнутой системы нужно выяснить, какое число корней её характеристического полинома имеет положительные вещественные части.

В одноконтурной автоматической системе, составленной из последовательно соединенных звеньев, корни характеристических полиномов этих звеньев являются корнями характеристического полинома разомкнутой системы. Определение числа корней с положительной вещественной частью не вызывает затруднений.

Различают три случая применения критерия Найквиста.

1.Разомкнутая система устойчива. В этом случае для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) разомкнутой системы при изменении частоты от нуля до  не охватывала точку с координатами (-1, j0).

2.Разомкнутая система на границе устойчивости. Характеристический полином такой разомкнутой системы имеет нулевые или чисто мнимые корни, а у остальных корней отрицательные вещественные части. Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы при изменении частоты от нуля до , дополненная на участке разрыва дугой бесконечно большого радиуса, не охватывала точку с координатами (-1, j0).

3.Разомкнутая система неустойчива. Характеристический полином такой системы имеет корней с положительной вещественной частью.

В этом, наиболее общем, случае критерий Найквиста формулируют так: для устойчивости замкнутой автоматической системы необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты от нуля до  вектор, начало которого находится в точке с координатами (-1, j0), а конец на амплитудно-фазовой частотной характеристике разомкнутой системы, повернулся в положительном направлении (против часовой стрелки) на угол

Характеристический полином разомкнутой системы, кроме корней с вещественной частью (положительной или отрицательной), может иметь нулевые и чисто мнимые корни. Тогда на участках разрыва АФЧХ должна быть дополнена дугой бесконечного радиуса.

При сложной форме АФЧХ разомкнутой системы удобнее применять другую формулировку критерия Найквиста, которая использует правило переходов. Переход АФЧХ при увеличении через отрезок от -1 до - сверху вниз считают положительным и снизу вверх отрицательным. АФЧХ может начинаться на указанном отрезке при или заканчиваться при Тогда считается, что она совершает полперехода.

Критерий формулируют так: замкнутая система устойчива, если разность между числом положительных и отрицательных переходов амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы через отрезок вещественной оси от -1 до -, равен Здесь число корней характеристического полинома разомкнутой системы с положительной частью.